Cómo mostrar $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2}dx$ es finito?

Question

Al principio, mi enfoque era tomar directamente la integral impropia de ella.

Sin embargo, parece que no es tan fácil.

Entonces traté de encontrar otra fracción para hacer una comparación. Obtuve $\frac{\sin^2(x)}{x^2} < \frac{\sin^2(x)}{x}$ . Así que si pudiera mostrar $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x}dx $ es finito $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2}dx$ será entonces finito . Sin embargo, todavía no puedo entender esto último.

¿Podría alguien sugerirme con qué función comparar, u otro método?

Gracias.

Answer 1

Pista: comparar con la integral $1/x^2$

Answer 2

Desde $0\leqslant \sin^2x\leqslant 1$  para todos $x\in \mathbb{R}$ entonces podemos utilizar la siguiente desigualdad $$0<\int_1^\infty \frac{\sin^2x}{x^2}dx\leqslant \int_1^\infty \frac{dx}{x^2}=1.$$

Answer 3

Ayuda a notar que el $\sin(x)$ parte no debería influir en la respuesta final porque su integral indefinida va al infinito y $\sin(x)$ lo más probable es que se anule en el proceso. Sencillamente, como señaló Tsemo Aristide, la integral indefinida para $\frac1{x^2}$ debe hacer.

También puedes adoptar el siguiente método:

$$\int_1^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\int_1^{\infty}\sin^2(x)\cdot\frac1{x^2}dx$$

Realiza la integración por partes de forma infinita, luego utiliza el teorema fundamental del Cálculo. Como tenemos una $\frac1{x^n}$ Entonces todo irá a $0$ como $x$ llega al infinito. También, $\frac1{1^n}=1$ , atendiendo a la segunda parte en la parte integral indefinida.

$$\int\sin^2(x)\cdot\frac1{x^2}dx=-\sin^2(x)x^{-1}+2\int\cos(x)\sin(x)(x^{-1})dx$$

En este punto, irías a buscar la integración por partes con 3 términos.

Answer 4

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Has recibido respuestas que demuestran que acotar la integral es bastante sencillo.

Si ya conoces las funciones especiales (como comentó Brevan Ellefsen), puedes hacer incluso más. $$I=\int\frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\frac 12\int\frac{1-\cos(2x)}{x^2}dx=\frac 12\int\frac{dx}{x^2}-\frac 12\int\frac{\cos(2x)}{x^2}dx$$ La primera integral no presenta ningún problema.

Ahora, considere $$J=\int\frac{\cos(2x)}{x^2}dx$$ e integrar por partes $$u=\cos(2x) \quad , \quad du=-2\sin(2x)dx \quad, \quad dv=\frac{dx}{x^2}\quad, \quad v=-\frac{1}{x}$$ $$J=-\frac{\cos (2 x)}{x}-2\int \frac{ \sin (2 x)}{x}dx=-\frac{\cos (2 x)}{x}-2\int \frac{ \sin (2 x)}{2x}d(2x)$$ Así que, $$J=-\frac{\cos (2 x)}{x}-2\,\text{Si}(2 x)$$ donde aparece la definición del función integral del seno . Finalmente, $$I=\text{Si}(2 x)+\frac{\cos(2x)-1}{2x}$$

Ahora, usando los límites dados, $$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\frac{1}{2} (1+\pi -\cos (2))-\text{Si}(2)\approx 0.673457$$

Answer 5

Creo que este es el más corto

$$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x \leq \int\limits_{1}^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x + \int\limits_{1}^{\infty}\frac{\cos^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=1$$