Aplicación de la regla de l'hospital a la función exponencial

Question

La tarea que tengo es resolver el límite de abajo usando la regla de l'hospital.

$$ \lim_{x\to\infty} e^{x-x^2} $$

Lo que hice fue convertirlo en un cociente

$$ \lim_{x\to\infty} \frac{e^{x}}{e^{x^2}} $$

Así que ahora tenemos la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ y aplicar la regla de l'hospital

$$ \lim_{x\to\infty} \frac{e^{x}}{2 e^{x^2}x} $$

Lo he vuelto a aplicar varias veces, pero parece que no se puede solucionar así.

Mi pregunta es cómo ¿se puede resolver esto? con la regla de l'hospital ? Por favor, explique o dé una pista sobre cómo se puede resolver, no necesito una respuesta sencilla.

Answer 1

Aunque aquí no utilizamos la regla de L'Hospital, se puede proceder simplemente observando que

$$e^{x-x^2}=e^{-(x-1/2)^2}e^{1/4}=\frac{e^{1/4}}{e^{(x-1/2)^2}}$$

Entonces, utilizando la desigualdad elemental $e^x\ge 1+x$ podemos escribir

$$0\le \frac{e^{1/4}}{e^{(x-1/2)^2}}\le \frac{e^{1/4}}{1+(x-1/2)^2}$$

con lo que la aplicación del teorema del estrujamiento da como resultado el codiciado límite

$$\lim_{x\to \infty}e^{x-x^2}=0$$

Answer 2

Como se menciona en los comentarios, hay formas mucho más fáciles de encontrar el límite. Sin embargo, si tienes que utilizar este cálculo, deja que $a = \lim_{x \to \infty} e^{x-x^2}$ . Su cálculo le da una ecuación algebraica que puede utilizar para determinar exactamente el valor de $a$ es.