La pregunta es la siguiente:
Dejemos que $K(5, 12)$ , $L(14, 0)$ y $M (0,0)$ . La línea $x + 2y = 14$ biseca el ángulo $MLK$ . Encuentra las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos $KML$ y $MKL$ .
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Respuestas
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Dejemos que $KD$ sea la bisectriz de $\Delta KLM$ .
Por lo tanto, ya que $$\frac{LD}{DM}=\frac{KL}{KM}=\frac{\sqrt{9^2+12^2}}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{15}{13},$$ obtenemos $$D\left(\frac{13\cdot14+0}{15+13},0\right)$$ o $$D(6.5,0).$$ Así, $$m_{KD}=\frac{12-0}{5-6.5}=-8$$ y para la ecuación de $KD$ obtenemos: $$y-12=-8(x-5)$$ o $$y=-8x+52.$$
Ahora, $y=-8x+52$ y $x+2y=14$ se cruzan en el punto $I(6,4)$ .
Así, para la ecuación de la tercera bisectriz obtenemos: $$y-0=\frac{4-0}{6-0}(x-0)$$ o $$y=\frac{2}{3}x.$$ ¡Hecho!
Vasya
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En primer lugar, vamos a encontrar las ecuaciones de la línea $MK$ que es fácil: $y=\frac{12}{5}x$ . Ahora los puntos que pertenecen a la bisectriz son equidistantes de $MK$ y $ML$ (que es el eje x). Para encontrar la pendiente necesitamos encontrar la tangente de una mitad de $\angle KML$ . Para ello podemos utilizar la identidad trigonométrica: $tan{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}$ . Así, la ecuación para $\angle KML$ bisectriz es $y=\frac{2}{3}x$ . Ahora tenemos que encontrar la ecuación de la línea $KL$ que es $y=-\frac{4}{3}x+\frac{56}{3}$ . La ecuación de la bisectriz de $\angle KLM$ será $$\large{0=\frac{\vert-\frac{4}{3}x-y+\frac{56}{3}\vert}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}}$$
amd
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Recuerda la regla del paralelogramo para sumar un par de vectores: su suma es la diagonal del paralelogramo con lados definidos por los dos vectores. La diagonal de un rombo también es una bisectriz de un ángulo, así que si podemos hacer que los dos vectores tengan la misma longitud, entonces su suma bisecará el ángulo entre ellos. Una forma de hacer este ajuste es normalizar los dos vectores.
Para la bisectriz dada, tenemos $\overrightarrow{LM}=M-L=(-14,0)$ y $\overrightarrow{LK}=K-L=(-9,12)$ . Normalizados, se convierten en $(-1,0)$ y $\left(-\frac35,\frac45\right)$ respectivamente, y su suma es $\left(-\frac85,\frac45\right)$ . Esto da una pendiente de $\frac12$ para la bisectriz de $\angle{KLM}$ . Supongo que puedes reconstruir la línea con esta información. Para las otras bisectrices, puedes hacer un cálculo similar. (Para la tercera bisectriz, también podrías utilizar el hecho de que las tres bisectrices se cruzan en un punto común).
Me parece más cómodo trabajar con la ecuación punto-normal de una recta para problemas como éste porque maneja las rectas verticales sin necesidad de casos especiales para ellas. Las diagonales de un rombo son ortogonales, así que podemos obtener la normal a la bisectriz del ángulo mediante subtacting uno de los vectores unitarios a partir del otro en lugar de sumarlos. Para la bisectriz dada, esto sería $\left(-\frac35,\frac45\right)-(-1,0)=\left(\frac25,\frac45\right)$ , por lo que podemos utilizar $(1,2)$ como la normal de la línea, produciendo la ecuación $(1,2)\cdot(x,y)=(1,2)\cdot(14,0)=14$ es decir, $x+2y=14$ .
