Ideales primarios en un producto directo finito de anillos

Question

Deje $S=\prod_{i=1}^{n}{R_i}$ donde cada $R_i$ es un anillo conmutativo con identidad. Los ideales principales de $S$ son de la forma $\prod_{i=1}^{n}{P_i}$ donde para algunos $j$, $P_j$ es un ideal principal de $R_j$ y para $i\neq j$, $P_i=R_i$.

Answer 1

Está claro que cualquier ideal de $S$ de la forma indicada anteriormente es primordial. Deja que $P$ sea un ideal principal de $S$. Para $1\leq k\leq n$, que $e_k$ sea el elemento de $S$ cuya $k$ coordenada es $1$ y todas las demás coordenadas son $0$. $P$ es adecuado, por lo que algunos $e_j$ (digamos $e_1$) no están en $P$. Para $k\neq 1$ tenemos $e_{1}e_k=0\in P$, así que $e_k\in P$. Así $0\times \prod_{i=2}^{n}{R_i}\subseteq P$. Que $\pi_1\colon S\to R_1$ sea la proyección canónica. Entonces $\pi_1(P)$ es un ideal principal de $R_1$ y $P=\pi_1(P)\times \prod_{i=2}^{n}{R_i}.$