¿Qué significa que los números racionales sean "densos en los reales"?

Question

¿Qué significa que los números racionales sean "densos en los reales"? No encuentro una explicación decente en Internet...

Answer 1

Significa que entre dos reales cualesquiera hay un número racional. Los números enteros, por ejemplo, son no denso en los reales porque se pueden encontrar dos reales sin enteros entre ellos.

Esa definición funciona bien cuando el conjunto está ordenado linealmente, pero también se puede decir que el conjunto de puntos racionales, es decir, puntos con coordenadas racionales, en el plano es denso en el plano. Entonces hay que definirlo de otra manera: significa que todo conjunto abierto en el plano interseca al conjunto de todos los puntos racionales. Por pequeño que sea un disco abierto en el plano, no puede evitar contener algunos puntos racionales; por tanto, el conjunto de todos los puntos racionales es denso en el plano. En el caso de la recta, decir que todo intervalo abierto contiene algunos racionales equivale a decir que entre dos reales cualesquiera hay algún número racional.

Answer 2

Significa que se puede aproximar bien cualquier número real utilizando un número racional. Por bien aproximado quiero decir que puedes encontrar una fracción arbitrariamente cercana a cualquier número real.

Para precisarlo, para cualquier número real $x$ y cualquier "cercanía arbitraria $\varepsilon>0$ existe una fracción $\displaystyle q=m/n\in\mathbb{Q}$ tal que

$$\left|x-\frac{m}{n}\right|<\varepsilon.$$

Otro ejemplo de densidad es que el conjunto de polinomios es denso en el conjunto de funciones continuas sobre un intervalo cerrado. Es decir, dada cualquier función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ y "cercanía arbitraria", existe un polinomio $$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$ tal que $\|f-p\|<\varepsilon$ . Este ' $\|\cdot\|$ es la distancia entre $f$ y $p$ y viene dado como $$\|f-p\|=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)-p(x)|\underset{[a,b]\text{ is compact }}{=}\max_{x\in [a,b]}|f(x)-p(x)|.$$

Answer 3

Significa que entre dos números reales distintos hay un número racional.

Answer 4

Entre dos números racionales cualesquiera existe otro número racional. Por ejemplo, 1/2 y 1/4 son dos números racionales, pero existe otro número racional 1/3 entre los dos anteriores. En el caso de otros subconjuntos de números reales, por ejemplo, los números enteros, no puede existir otro número entero entre dos cualesquiera.