¿Se puede dividir una suma de productos como producto de dos sumas?

Question

Tengo

$$\sum_k^n P_k x_k$$

¿Puedo dividirlo en dos sumas para tenerlo como

$$\sum_k^n P_k \sum_k^nx_k$$

Answer 1

$\qquad\qquad$

$$x_1\qquad\qquad\qquad\qquad x_2\qquad\qquad\qquad\qquad x_3\qquad\qquad\qquad\qquad x_4$$

Imagine que los segmentos verticales son su $P$ 's. Entonces el producto de las sumas es el área de todo el rectángulo, mientras que la suma de los productos es sólo el área roja.

Answer 2

Suponiendo que P depende de k y no de n, entonces la suma $$ \sum_k P_k x_k $$ Crea términos como $$ P_1 x_1 + P_2 x_2 + \ldots + P_n x_n $$ Pero, si usted tomó $P_k$ entonces tendrías dos sumas independientes: $$ \sum_k P_k \sum_k x_k $$ Produciendo dos sumas separadas que se multiplican entre sí como $$ (P_1 + P_2 + \ldots + P_n) (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) $$ Y esto obviamente produce términos como $P_1 x_1, P_1 x_2,\ldots$ o como se produce la doble suma escrita como: $$ \sum_i \sum_j P_i x_j $$ Así que la suma original no es definitivamente la misma que esta suma doble.

Answer 3

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/SummationNotation.aspx

^^^Eso ofrece un buen resumen de la notación de suma y sus propiedades.

Para responder específicamente a su pregunta, no debería dividir esto en dos sumas diferentes. Más bien, observa que P no depende de k. Puedes tratar a P como una constante y simplemente moverla fuera de la suma para que multiplique el resultado de tu suma de $x_k$ que sí depende de su variable k.