Demostrar que este operador integral es compacto

Question

Let $X,Y=L^2(0,1)$, $k\in C^0([0,1]^2)$. Define $ $ $ K:X\to Y,\,\,\,\,\,Kf(x):=\int_0^1k(x,y)f(y)dy\,\,\,\,\,\forall\, f\in L^2(0,1). $ $ Tengo que mostrar que $K$ es compacto.

Mi idea es demostrar que $K$ es el límite de los operadores de rango finito. Pero no sé exactamente qué tipo de operadores debería tener en cuenta.

Answer 1

Usando el teorema de Stone-Weierstass, la función $k$ se puede aproximar uniformemente en $[0,1]^2$ mediante combinaciones lineales de funciones de la forma $(x,y)\mapsto u(x)v(y)$, donde $u,v\colon [0,1]\to \mathbb R$ son funciones continuas.

Para tales funciones, el operador del núcleo tiene un rango finito. Queda por demostrar que la convergencia uniforme del grano implica convergencia para la norma del operador.