Cómo se hacen las desigualdades

Question

En los últimos días he resuelto muchos problemas de desigualdad en concursos de matemáticas y, a veces, cuando resuelvo el problema puedo "ver" fácilmente la idea que hay detrás de su creación (por ejemplo, una sustitución inteligente y obtienes algo equivalente a alguna desigualdad conocida).

Pero a veces, incluso después de resolver el problema, no tengo la menor idea de cómo alguien podría siquiera conjeturarlo. Normalmente, me quedo con la sensación de que tomé el camino más largo hacia la solución, y que debería haber uno más corto y elegante.

Estoy seguro de que hay personas en math.se que contribuyen a los concursos de matemáticas y me gustaría mucho ver su proceso detrás de la creación de un problema de desigualdad (en algún ejemplo de problema de concurso). Espero que esta pregunta no sea demasiado suave.

Answer 1

Como se ha mencionado en algunos comentarios, los problemas matemáticos de los concursos suelen ser artificiosos. Como ávido competidor, y habiendo escrito yo mismo algunos problemas de concurso, los escritores de problemas tienden a basarse en temas que les han venido a la cabeza recientemente.

Por ejemplo, un aficionado a las desigualdades podría, por ejemplo, tomar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sustituir algunas variables y, a continuación, "invertir la simplificación", o hacer que el problema parezca más complicado utilizando alguna sustitución. La solución prevista es deshacer esa sustitución, simplificar, y luego ver la equivalencia del problema original con Cauchy-Schwarz.

Lamento no poder proporcionar ningún ejemplo aquí (derechos de autor), pero si miras las soluciones a los problemas de ejemplo en el primer capítulo de Problemas del Libro (Andreescu y Dospinescu), verás de qué estoy hablando.