¿Cuál es la relación entre los parámetros de orden no locales y las fases topológicas?

Question

Conozco varias definiciones de las fases de la materia:

• La primera es la "antigua", la teoría de Landau y la ruptura de simetría. En esta definición elegimos un parámetro de orden local $m$ (por lo que veo, esto está definido de forma bastante vaga). Si el estado tuviera la misma simetría del hamiltoniano, tendríamos $\langle m\rangle=0$ pero cuando se varía algún parámetro y se cruza un valor crítico, se observa la ruptura espontánea de la simetría y $\langle m \rangle\neq 0$ . Sabemos que esta definición no describe todas las fases, ya que no incluye las fases topológicas.
• Dejemos que $H_0$ y $H_1$ sean dos hamiltonianos. Los dos hamiltonianos (o sus estados básicos) están en la misma fase si existe un camino continuo sin huecos $\gamma \mapsto H_\gamma$ interpolándolos. Si incluimos el requisito de que $H_\gamma$ debe tener cierta simetría para todos los $\gamma$ nos encontramos con la noción de orden topológico protegido por simetría.
• Una de las palabras clave de la definición de Landau es local parámetro de pedido. Podemos encontrar nuevas transiciones de fase considerando no local parámetros de orden, como el parámetro de orden de la cadena en la fase de Haldane.

Ahora bien: la fase Haldane es el ejemplo prototípico tanto de ruptura de simetría espontánea señalada por un parámetro de orden no local y orden topológico protegido por la simetría. Como en la OEPM exigimos que toda la fase tenga una simetría, por definición la simetría debe romperse para salir de la fase. Dado que llamamos a esto orden "topológico", supongo que esta ruptura de simetría no puede ser detectada por un parámetro de orden local, por lo que, mis preguntas son las siguientes:

• ¿La ruptura de la simetría entre las fases de la OEPM está siempre señalada por un parámetro de orden no local?

• A la inversa, ¿la ruptura de la simetría con un parámetro de orden no local es siempre la OEPM (existe un camino sin huecos...)

• En general, ¿cuál es la relación entre los parámetros de orden no locales y las fases topológicas?

Answer 1

Cuando se refiere a las transiciones de la OEPM como "transiciones de ruptura de simetría no locales", supongo que se refiere a la idea de "ruptura de simetría oculta". De hecho, esta es la antigua forma de ver las OEPM (es decir, los años 80 y 90), antes de que se desarrollara la comprensión más moderna en términos de invariantes topológicas. Para mayor claridad, permítanme repasar brevemente esto con un ejemplo ilustrativo antes de abordar sus preguntas:

Ejemplo de SPT mínimo en 1D

La fase mínima de SPT en una dimensión es la fase Haldane, por ejemplo, protegida por $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ simetría. Una cadena de espín mínima exactamente resoluble en esta fase es el modelo de racimo: $$ H_\textrm{cluster} = -\sum_n X_{n-1} Z_n X_{n+1},$$ donde I denota el espín- $1/2$ Matrices de Pauli como $X,Y,Z$ . Las simetrías protectoras son $P_1 = \prod_n Z_{2n-1} $ y $P_2 = \prod_n Z_{2n}$ . Resulta que el estado básico tiene un orden de largo alcance en un parámetro de orden de la cadena: $$ \lim_{|n-m|\to \infty} \langle X_{2m} Z_{2m+1} Z_{2m+3} \cdots Z_{2n-3} Z_{2n-1} X_{2n} \rangle \neq 0. $$ Tenga en cuenta que el operador final de la cadena (por ejemplo, $X_{2n}$ a la derecha) está cargada con la $P_2$ simetría. Por lo tanto, se parece un poco a un parámetro de orden que rompe la simetría, excepto por el no local ( $P_1$ ) que conecta los dos puntos finales.

Romper la simetría ''oculta''

Ahora bien, existe de hecho un mapeo no local que convierte esto en una fase que rompe la simetría: defina $$ \tilde X_n = \cdots Z_{n-5} Z_{n-3} Z_{n-1} X_n \qquad \textrm{and} \qquad \tilde Z_n = Z_n.$$ Ignorando las cuestiones de frontera, se obtiene un álgebra de Pauli bien definida. En estas nuevas variables, tenemos $$ H_\textrm{cluster} = - \sum_n \tilde X_{n-1} \tilde X_{n+1}. $$ ¡Es sólo una cadena Ising en los sitios pares e Impares! Además, el parámetro de orden de la cadena anterior ahora sólo se convierte en $$ \lim_{|n-m|\to \infty} \langle \tilde X_{2m} \tilde X_{2n} \rangle \neq 0, $$ es decir, es sólo el parámetro de orden de ruptura de simetría convencional. Si lo desea, puede ver esto como una derivación de la afirmación anterior de que el modelo de cúmulo original tiene orden de largo alcance en ese parámetro de orden de la cuerda (ya que en estas variables efectivas de Ising es obvio que tenemos el parámetro de orden local).

Ventajas y desventajas

Una característica positiva de este mapeo es que hace fácilmente evidente que, por ejemplo, el modelo de cluster $H_\textrm{cluster}$ no puede estar conectada adiabáticamente al Hamiltoniano trivial $H_\textrm{triv} = - \sum_n Z_n$ (al menos si conservamos $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ simetría). De hecho, bajo el mapeo no local anterior, este último mapea a $H_\textrm{triv} = - \sum_n \tilde Z_n$ que preserva la simetría y, por lo tanto, debe separarse de la $-\sum_n \tilde X_{n-1} \tilde X_{n+1}$ fase por una transición de fase termodinámica.

El inconveniente es que el mapeo no local oculta la física del modelo original. Al fin y al cabo, el modelo de cúmulo no tiene ruptura de simetría, en particular, su estado básico es único para condiciones de contorno periódicas. (Esto es posible debido al mapeo no local que utilizamos, que inevitablemente se estropea cuando se intenta tratar con condiciones de contorno periódicas). Una comprensión más moderna de las fases SPT se basa en el concepto de fraccionamiento de la simetría (en el que realmente no quiero entrar aquí, si no es por limitaciones de espacio, pero para una mayor lectura puedo señalar la introducción de mi artículo aquí: p2 y p3 de arxiv:1707.05787 (descargo de responsabilidad: yo no he inventado el concepto de fraccionamiento de la simetría, y todas las referencias apropiadas se pueden encontrar allí).

Responder a sus preguntas

¿La ruptura de la simetría entre las fases de la OEPM está siempre señalada por un parámetro de orden no local?

A grandes rasgos: sí. Más concretamente, para las fases SPT 1D esta construcción general fue realizada en 2012 por Pollmann y Turner ( arxiv:1204.0704 ). Esto funciona para la gran mayoría de las fases de SPT, aunque hay excepciones curiosas que se discuten en el documento (que hasta ahora no han aparecido en ningún modelo concreto en la literatura). En este sentido, Else, Barlett y Doherty ( arxiv/1304.0783 ) generalizó el mapeo no local anterior de la SPT a las fases que rompen la simetría. Además, en dimensiones superiores, la noción de fraccionamiento de simetría también permite demostrar que se tiene un orden de largo alcance para un operador de membrana de simetría vestido con un unitario apropiado en su frontera (es decir, el análogo de dimensiones superiores de lo que vimos anteriormente para el modelo de cúmulo, donde la cuerda tenía algunos operadores de punto final). Sin embargo, en ese caso no conozco una imagen dual de "ruptura de simetría oculta" (lo cual es otra desventaja de esta forma de entender las fases SPT).

A la inversa, ¿la ruptura de la simetría con un parámetro de orden no local es siempre la OEPM (existe un camino sin huecos...)

Ciñéndonos al caso unidimensional más sencillo por comodidad: básicamente, sí. Más concretamente, si se tiene una simetría in situ $\prod_n U_n$ que tiene un orden de largo alcance con algún operador final $\mathcal O_n$ y este operador de punto final está cargado de forma no trivial bajo alguna (otra) simetría de tu modelo, entonces tienes una fase SPT no trivial en tus manos (la única advertencia es que tienes que asegurarte de que esta carga es discreta y no puede ser conectada suavemente a cero, por ejemplo, $-1$ no es una carga discreta para $U(1)$ pero es una carga discreta para $\mathbb Z_2$ ).

En general, ¿cuál es la relación entre los parámetros de orden no local y las fases topológicas?

Espero que los comentarios anteriores ya aborden este punto, al menos para el caso de las fases SPT. Incluso el orden topológico intrínseco puede relacionarse con el orden de largo alcance de ciertos parámetros de orden de las cuerdas, conocido como el parámetro de orden de Bricmont-Frohlich-Fredenhagen-Marcu, que no tiene ninguna relación conceptual con el caso SPT anterior (para una perspectiva de materia condensada, véase este artículo de Gregor, Huse, Moessner y Sondhi: arxiv:1011.4187 ).

Answer 2

Topológico significa gran escala. Si se puede detectar una propiedad observando una pequeña porción del espacio, entonces esa propiedad no es topológica, por definición. Algo es topológico cuando hay que observar puntos separados por una distancia finita.

Un parámetro de orden local es un operador situado en un punto. Como tal, sólo puede sondear ese punto, y una pequeña vecindad alrededor de él. Nunca se puede detectar una transición topológica observando un punto concreto.

Un parámetro de orden no local es un operador extendido. Como tal, puede sondear puntos separados por una distancia finita. Las propiedades topológicas sólo pueden ser detectadas por este tipo de operadores.

Dicho esto, los operadores no locales pueden también detectar las propiedades locales. Son sensibles a la estructura a gran escala, pero (como cuestión de principio) también pueden ser sensibles a las distancias cortas. Por ejemplo, dado un operador no local, se puede construir otro operador no local multiplicando el primero por un operador local. El objeto resultante es sensible a la física alrededor de la posición del operador local.

Así que, en resumen: el orden topológico requiere operadores extendidos, pero lo contrario no es necesariamente cierto: la ruptura de simetría detectada por un operador no local no tiene por qué ser topológica.