Convergencia débil y fuerte

Question

Tengo la secuencia $(v_n)\subset H^1_0(0,1)$ tal que $v_n\rightharpoonup v $ (débilmente) en $H^1_0(0,1)$ y $v_n\rightarrow v$ en $L^2(0,1)$ y $v_n\rightarrow v$ en $C^0(0,1)$

Mi pregunta es por qué $$\int_0^1 v_n(x) (v_n(x)-v(x)) dx\rightarrow 0$$

Yo digo que $\int_0^1 v_n (v_n-v) dx=\int_0^1 (v_n-v+v)(v_n-v) dx= \int_0^1 (v_n-v)^2 dx +\int_0^1 v(v_n-v) dx=$ $ ||v_n-v||^2_{L^2(0,1)} +\int_0^1 v(v_n-v) dx$

Por el hecho de que $v_n\rightarrow v$ en $L^2(0,1)$ tenemos que $||v_n-v||_{L^2}\rightarrow 0.$

Pero, ¿por qué? $\int_0^1 v(v_n-v) dx\rightarrow 0$ ???

Gracias

Answer 1

Esto se deduce de una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En efecto, $$\left|\int_0^1 v(x)(v_n(x)-v(x))\mathrm dx\right|^2\leqslant \int_0^1v(x)^2\mathrm dx\cdot \int_0^1\left(v_n(x)-v(x)\right)^2\mathrm dx=\int_0^1v(x)^2\mathrm dx\cdot\lVert v_n-v\rVert_2.$$