Apagado de luces con reglas personalizadas

Question

Estoy tratando de entender cómo utilizar el álgebra lineal para resolver un rompecabezas personalizado de Lights Out con las siguientes reglas:

Hay 8 luces, todas las luces están apagadas en el punto de partida, necesito encenderlas todas. Cada cambio de botón (en \off ) de las luces así: (Si la luz estaba encendida, la apagará, si estaba apagada, la encenderá)

1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1

Por ejemplo:

El botón 1 cambiará las luces 1, 2, 4 y 5

El botón 2 cambiará las luces 1, 2, 3, 4, 7 y 8 Ya tienes la idea...

Comenzamos con

0 0 0 0 0 0 0 0

Y tenemos que llegar a

1 1 1 1 1 1 1 1

No tengo ni idea de cómo empezar, intenté solucionarlo con muchas matrices pero no entendía muy bien lo que hacía, así que fracasé. Cualquier ayuda será agradecida.

Answer 1

Llama a tu matriz $A$ . Desea utilizar el interruptor $1$ $x_1$ veces, cambiar $2$ $x_2$ tiempos, etc. Llama al vector con el $x_i$ $\bar{x}$ . Así se obtiene que $A \bar{x} = \bar{1}$ . ¿Sabe cómo proceder a partir de ahí?

Answer 2

Sea cual sea el estado de las luces, Button $A$ seguido por Button $B$ tiene el mismo efecto que Button $B$ seguido de Button $A$ . En otras palabras, los ocho operadores son conmutativos. En consecuencia, podemos ignorar la secuencia precisa en la que deben operarse los botones. Sólo importa la frecuencia con la que se pulsa cada botón.

Además, cada Botón es su propio inverso. De ello se deduce que no es necesario utilizar cada botón más de una vez. Para cada Botón la solución del rompecabezas es $0$ o $1$ tiempos.

Si se lee el gráfico en vertical, se obtiene, para cada luz, la ecuación que determina si el interruptor del botón $(x)$ es igual a $0$ o $1$ . En conjunto, estas ecuaciones forman un conjunto de $8$ ecuaciones lineales que se determina por la transposición de la matriz original.

En conclusión, la solución del rompecabezas se encuentra dejando que la transposición de la matriz original actúe sobre el estado de luz de salida, lo que debe dar como resultado el estado de luz de entrada.

Obsérvese que la ecuación de la luz $8$ es el mismo que para la luz $3$ . Ya que tenemos $7$ ecuaciones para $8$ variables, obtenemos dos soluciones distintas.

$(a) B_5 = 1$ y $B_8 = 1$

$(b) B_5 = 1$ y $B_1 = B_2 = B_6 = B_7 = 1$