¿Cuál es el cierre del conjunto de funciones continuas acotadas de valor real sobre $\mathbb{R}^d$ bajo la convergencia puntual? ¿Cómo se puede encontrar este cierre? Además, ¿existen nombres comunes para los espacios de funciones equipados con diferentes nociones de convergencia (topologías)?
¿Tiene alguien un recurso completo que enumere resultados como los cierres de espacios de funciones comunes con determinadas topologías? Gracias.
Estas funciones (límites puntuales de funciones continuas) se denominan funciones Baire de primera clase. (las de segunda clase son el límite puntual de aquellas, etc.), véase Wikipedia o este documento de estudio . Son objetos bastante bien estudiados y clásicos en topología.
Es bien sabido que las funciones continuas son densas en todas las funciones sobre un espacio $X$ siempre y cuando $X$ tiene suficientes funciones continuas reales, por ejemplo cuando $X$ es Tychonoff o incluso sólo funcionalmente Hausdorff. Así que el hecho de que haya dicho límites secuenciales es bastante importante.
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