¿la diferencia entre una matriz semidefinida positiva y su aproximación de rango 1 sigue siendo semidefinida positiva?

Question

Supongamos que $M$ es una matriz semidefinida positiva simétrica, su mayor entrada se produce a lo largo de la diagonal, es decir $m_{ii}$ . Entonces definimos el vector $A$ como la columna que contiene $m_{ii}$ es decir, (en lenguaje Python), $A=M[:,i]$ y $B=A^T/m_{ii}$ .

$AB$ es una aproximación de rango 1 de $M$ y también es semidefinido positivo. Creo que la diferencia $M-AB$ es también semidefinido positivo, pero no puede demostrarlo.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo probar $M-AB$ ¿también es semidefinido positivo?

Gracias.

Answer 1

Esta aproximación de rango 1 se conserva bajo cambios ortogonales de base. Dado que $M$ se supone simétrica, se puede diagonalizar ortogonalmente y entonces la aproximación de rango 1 es sólo la matriz con una única entrada distinta de cero, es decir, el mayor coeficiente diagonal. Sustituyéndola por cero se obtiene claramente una matriz semidefinida positiva.

Answer 2

$m_{ii}$ no necesita ser la entrada diagonal más grande. Cualquier entrada diagonal no nula es suficiente. Más concretamente, supongamos sin pérdida de generalidad que $i=1$ y $m_{11}>0$ . Partición $M$ como $\pmatrix{m_{11}&u^\top\\ u&H}$ . Entonces su " $M-AB$ "es igual a $$ M-\frac{1}{m_{11}}\pmatrix{m_{11}\\ u}\pmatrix{m_{11}&u^\top} =\pmatrix{0&0\\ 0&H-\tfrac{1}{m_{11}}uu^\top}. $$ Es semidefinido positivo si y sólo si $H-\tfrac{1}{m_{11}}uu^\top$ es semidefinido positivo. La matriz $H-\tfrac{1}{m_{11}}uu^\top$ es conocido como el Complemento de Schur de $m_{11}$ en $M$ . Tenemos $$ \underbrace{\pmatrix{m_{11}&u^\top\\ u&H}}_M= \underbrace{\pmatrix{1&0\\ \tfrac{1}{m_{11}}u&I_{n-1}}}_{P^\top} \ \ \underbrace{\pmatrix{m_{11}&0\\ 0&H-\tfrac{1}{m_{11}}uu^\top}}_C \ \ \underbrace{\pmatrix{1&\tfrac{1}{m_{11}}u^\top\\ 0&I_{n-1}}}_P. $$ Desde $M$ es semidefinido positivo y $P$ es invertible, $C$ y su submatriz principal posterior $H-\tfrac{1}{m_{11}}uu^\top$ son también semidefinidos positivos. En realidad se puede decir más si se sabe Ley de inercia de Sylvester .