$f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ se define recursivamente por $f_1:=0$ y $$f_{n+1}(x)=e^{-2x}+\int_0^xf_n(t)e^{-2t}dt,\qquad n\ge 1$$ Necesito demostrar que el límite $f(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ existe y encontrarlo explícitamente.
He descubierto que $f_n$ es de la siguiente forma $$f_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_{n,i}e^{-2i}$$ y $$a_{n,i}=(-2)^{-i}\frac{a_{n-i+1,1}}{i!},\qquad \forall n,i\ge 2$$ Pero no encuentro una función que se parezca al límite.
El límite, si existe, debe satisfacer $$f(x)=e^{-2x}+\int_0^xf(t)e^{-2t}dt$$ que después de la diferenciación se convierte en $$f'(x) = -2e^{-2x} + f(x)e^{-2x}$$ Esta es una EDO lineal que puedes resolver. Un enfoque es escribir $g=f-2$ para que $g'(x)=g(x)e^{-2x}$ ; se separan y se integran, llegando finalmente a $$ f(x) = 2 +C \exp\left(-\frac12 \exp(-2x)\right) $$
La existencia del límite se desprende de la demostración del teorema de unicidad de Picard para las EDO, ya que la fórmula de $f_n$ es la iteración de Picard.
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