Sé que esto debería ser bastante sencillo, pero ahora mismo la única manera que veo de demostrarlo es sentarse y escribir fórmulas explícitas para la ley del grupo, y ver que todo funciona. ¿Cuál es la razón geométrica o de sentido abstracto por la que la estructura de grupo abeliano de las curvas elípticas se comporta bien bajo homomorfismos?
Respuestas
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Esto se deduce por una propiedad de rigidez de ciertos morfismos. Es importante señalar que las curvas elípticas son completas, es decir, esquemas propios e integrales. Entonces tenemos el siguiente "Lema de Rigidez" (ver las Variedades Abelianas de Mumford, el comienzo del capítulo II (página 43 de la edición antigua), por ejemplo):
Dejemos que $X$ sea una variedad completa, $Y$ y $Z$ cualquier variedad, y $f:X\times Y\rightarrow Z$ un morfismo tal que para algún $y_0\in Y$ , $f(X\times\{y_0\})$ es un único punto $z_0$ de $Z$ . Entonces existe un morfismo $g:Y\rightarrow Z$ de manera que si $p_2:X\times Y\rightarrow Y$ es la proyección, $f=g\circ p_2$ .
¿Cómo ayuda esto? Bien, las curvas elípticas tienen un punto distinguido (el origen), y un morfismo de curvas elípticas es un morfismo de sus esquemas subyacentes que lleva un punto distinguido al otro. Nos gustaría demostrar que cualquier morfismo de este tipo es realmente compatible con la ley de grupos. Así que consideremos un morfismo de curvas elípticas $f:E_1\rightarrow E_2$ y que $\Phi:E_1\times E_1\rightarrow E_2$ se define por $\Phi(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)$ . Entonces $\Phi(E_1\times\{0\})=0$ así que por el lema que he citado, hay un morfismo $g:E_1\rightarrow E_2$ tal que $\Phi=g\circ p_2$ . Y como $\Phi(\{0\}\times E_1)=0$ también, $g$ debe ser cero. Pero entonces $\Phi$ debe ser cero.
Nada de esto se basó en $E_1$ y $E_2$ siendo curvas elípticas; funciona exactamente igual para las variedades abelianas.
ScArcher2
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También hay una sencilla prueba analítica que es esclarecedora de otra manera.
Dejemos que $f : E \to E'$ sea un morfismo de curvas elípticas. Ambos E y E' tienen $\mathbb C$ como su espacio de cobertura universal. La composición $\mathbb C \to E \to E'$ se eleva de forma única a un mapa continuo $\overline f$ de $\mathbb C$ en la cobertura universal de $E'$ (ya que la fuente está simplemente conectada), y $\overline f$ es holomorfo porque el mapa $\mathbb C \to E'$ es localmente biholomorfo.
Dejemos que $E = \mathbb{C}/\Lambda$ , $E' = \mathbb{C}/\Lambda'$ . Sabemos que para $\lambda \in \Lambda$ tenemos $\overline f(z+\lambda) - \overline f(z) \in \Lambda'$ Por lo tanto $\overline f(z+\lambda) - \overline f(z)$ es constante en función de z . Diferenciando, la derivada de $\overline f$ es una función entera doblemente periódica, por lo que es una constante. Como $f$ debe preservar el punto base en las curvas elípticas, que es la imagen de 0, podemos suponer que $\overline f (0) = 0$ y así $\overline f (z) = cz$ para alguna constante $c$ . Pero las leyes del grupo sobre E y E' son inducidas por la ley de grupo en $\mathbb C$ Así que el hecho de que f ¡preserva la estructura del grupo se reduce a la ley distributiva!
La misma prueba vale también para cualquier toro complejo.
Zameer Manji
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Esta respuesta es una elaboración de algunas de las anteriores. En todo momento suponemos que $\phi:E\_1 \rightarrow E\_2$ es un morfismo de curvas elípticas (por lo que en particular preserva los orígenes, es decir $\phi(O) = O$ ).
He aquí una forma concreta del argumento de la rigidez:
Si $P$ está en $E\_1$ entonces definimos un mapa $\phi\_P:E\_1 \rightarrow E\_2$ a través de $\phi\_P(X) = \phi(X + P) - \phi(P)$ . Tenga en cuenta que $\phi\_O = \phi.$ (Aquí utilizamos el hecho de que $\phi(O) = O$ .) Así, $\phi\_P$ es una familia del mapa $E\_1 \rightarrow E\_2$ parametrizado por $E\_1$ , pasando por $\phi$ con la propiedad de que $\phi\_P(O) = O.$
Ahora $\phi\_P$ induce un mapa local correspondiente sobre anillos locales $\phi_P^*: \mathcal O_{E\_2,O} \rightarrow \mathcal O_{E\_1,O},$ y por tanto también en los cocientes de longitud finita $(\phi_P^*)_n: \mathcal O_{E\_2,O}/\mathfrak m^n \rightarrow \mathcal O_{E\_1,O}/ \mathfrak m^n$ . (Aquí utilizamos $\mathfrak m$ para denotar el ideal máximo en cada uno de los anillos locales).
Si $k$ es nuestro campo de tierra, entonces la fuente y el objetivo de $(\phi_P^*)_n$ son sólo espacios vectoriales de dimensión finita, y por lo tanto $P \mapsto (\phi\_P^*)_n$ es un morfismo (de variedades) de $E$ a una dimensión finita (¡y en particular, afín!) espacio de matrices. Dado que $E$ es proyectiva y conexa, debe ser constante.
Así, $(\phi_P^*)_n = (\phi_O^*)_n$ para todos $n$ y así pasando al límite encontramos que $\phi_P^* = \phi_O^*$ . Así, $\phi_P$ y $\phi_O$ inducir el mismo mapa en anillos locales en $O$ y como $E$ es irreducible, por lo que coinciden.
(Si quieres, pasando a campos de fracciones, vemos que inducen los mismos mapas $K(E\_2)\rightarrow K(E\_1)$ y por tanto coinciden como morfismos de curvas).
Así, $\phi\_P = \phi\_O = \phi.$ Desenrollar la definición de $\phi\_P$ , encontramos que $\phi(P + X) = \phi(P) + \phi(X)$ para todos $X$ y, por tanto, que $\phi$ es un homomorfismo de grupo.
He aquí una versión concreta del argumento con Picard y divisores:
Para demostrar que $\phi$ es un homomorfismo, es es fácil ver que basta con demostrar que $P + Q + R = O$ implica que $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) = O.$ (Esto utiliza el hecho de que $\phi(O) = O$ Espero que no se produzca ninguna confusión por usar $O$ para denotar el origen en ambos $E$ y $F$ .)
Ahora $P + Q + R = O$ (en la ley de grupos de $E$ ) si y sólo si existe una función racional $f$ tal que div $f$ = P + Q + R - 3 O (donde ahora el lado derecho es un divisor en $E$ ); es decir, si y sólo si $P + Q + R - 3 O$ es un divisor principal. (Concretamente, si $E$ se da por una ecuación cúbica de Weierstrass en ${\mathbb P}^2$ con coordenadas homogéneas $X$ , $Y$ y $Z$ entonces $P + Q + R = O$ cuando $P$ , $Q$ y $R$ son colineales, y entonces si $\ell(X,Y,Z)$ es la ecuación de la línea que pasa por ellos, la función $f$ puede tomarse como $\ell(X,Y,Z)/Z^3$ .)
Asimismo, $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) = O$ en la ley del grupo sobre $F$ si y sólo si el divisor $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) - 3 O$ es principal.
Así que nos vemos reducidos a demostrar que $\phi$ lleva los divisores principales a los divisores principales.
Esta es una propiedad general de los mapas de curvas proyectivas suaves: si $\phi$ es constante, no hay nada que mostrar. En caso contrario, si $\phi:C \rightarrow D$ no es constante, entonces induce una extensión finita de campos de funciones $K(D) \hookrightarrow K(C)$ , y tenemos el correspondiente mapa normativo (en el sentido habitual de la teoría de campos) $K(C) \rightarrow K(D)$ . Resulta que para cualquier función $f \in K(C)$ , tenemos div $(\text{norm of }f) = \phi(\text{div }f)$ . (Este es un ejercicio cuya dificultad variará en función de tu nivel de comodidad con el material; si entiendes Si entiendes bien los fundamentos de las funciones racionales y los divisores en las curvas, entonces no es demasiado difícil).
Max Flander
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381
Echa un vistazo al lema 4.9 y al ejercicio 2.6 en el capítulo IV de Hartshorne. Creo que se reduce al hecho de que el grupo de una curva elíptica es isomorfo a su grupo de Picard -el grupo de láminas invertibles donde la operación de grupo viene dada por el producto tensor- y al hecho de que un morfismo $f:X\to Y$ induce un homomorfismo $f_*:Pic\ Y \to Pic\ X$ .
(el isomorfismo envía un punto P a la gavilla de funciones con un cero simple en P y un polo simple en el infinito).
sagi
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482
No se necesitan fórmulas explícitas. En un entorno más general, dejemos que $A$ , $B$ sean variedades abelianas y que $f:A\to B$ sea un morfismo de variedades que envía $0$ a $0$ . Entonces $f$ es automáticamente un morfismo de variedades abelianas : preserva la estructura de grupo.
Véase, por ejemplo, el libro de Mumford sobre las variedades abelianas, o Notas en línea de Milne . En la página 8, Milne escribe
Corolario 1.2. Todos los mapas regulares $\alpha:A\to B$ de variedades abelianas es un compuesto de un homomorfismo con una traslación.
Esto es una consecuencia del "teorema de la rigidez".
También puede consultar su anterior artículo expositivo 1986b .
