Supongamos que $A$ es un dominio local normal dentro de un campo $K$. Supongamos que $B$ es la clausura integral de $A$ $K$. ¿Bajo qué condiciones en $A$ $B$ es local?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nir
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Primero de todo, nos deja la observación de que incluso si usted normalizar un dominio local dentro de su campo de fracción $K=Frac(A)$, el resultado puede o no puede ser un anillo local.
Por ejemplo, la normalización de los locales anillo de $\mathbb C[[T^2, T^3]]$ en su fracción de campo es el anillo local $C[[T]]$.
Por otro lado, la normalización de la anillo local $(\mathbb C[X,Y ]/(Y^2-X^2-X^3))_{(\bar X,\bar Y)}$ en su fracción de campo es un anillo con dos máximos ideales.
En general, se puede decir que la normalización $A^\nu$ de un noetherian dominio local $A$ en una extensión finita $K'$ de su campo de fracciones de $K$ es un semi-local de dominio, es decir, un dominio con un número finito de máximos ideales.
Si $K'=K$, se puede agregar que $A^\nu$ es un Krull de dominio.
Sin embargo Nagata se ha demostrado que la $A^\nu$ no tienen que ser de noetherian incluso si $K=K'$.
En EGA, $IV_1$, (23.2.1) el dominio local $A$ está definido para ser unibranch si su normalización en su fracción de campo $K$ es un anillo local, que es un caso especial de lo que usted está preguntando acerca de.
Entonces usted está definitivamente en buena compañía con tu pregunta!
Edit acabo de comprobar que Bourbaki da ( en Algèbre Conmutativa, Cap.5, §2, exercice 8) los siguientes bonito suficiente criterio : noetherian dominio local es unibranch si su realización es un dominio. Esto arroja una interesante luz sobre mis ejemplos anteriores, que escribí sin saber que criterio!
