Pregunta de complemento de probabilidad

Question

¿Cómo es que $$P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) \le 1?$$ Sé que esta afirmación es cierta y he intentado demostrarlo con diagramas de Venn, pero estoy atascado.

Soy capaz de demostrar que es cierto para A en B y cuando B está en A, pero ¿qué pasa cuando A y B y eventos independientes y disjuntos?

¿Alguna idea?

Answer 1

Simplemente porque $P(A)+P(A^c) = 1$ . Usted sabe que $A\cap B^c\subseteq A$ y $A^c\cap B\subseteq A^c$ así que $$P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B)\leq P(A)+P(A^c) = 1.$$ Incluso se implica un "resultado más fuerte": $P(A\cap C)+P(A^c\cap D)\leq 1$ .

Answer 2

¿Puedes demostrar que para dos eventos disjuntos $C,D$ tenemos $P(C) + P(D) \le 1$ ?

Entonces sólo hay que tener en cuenta que $A \cap B^c$ y $A^c \cap B$ son disjuntos, lo que deberías poder ver en tu diagrama de Venn. De hecho, uno está contenido en $A$ y el otro en $A^c$ .

Answer 3

Dejemos que $\Omega$ sea todo el espacio. A continuación, $$\Omega = (A\cap B^c) \cup (B \cap A^c) \cup (A^c \cap B^c) \cup (A\cup B)^c$$ y estos cuatro conjuntos son disjuntos, o, si se prefiere ese lenguaje, mutuamente excluyentes. Sólo dos de ellos están incluidos entre aquellos cuyas probabilidades has sumado.

Answer 4

Pista 1: Para cada conjunto $C$ y $D$ , si $C\cap D=\varnothing$ entonces $\mathrm P(C)+\mathrm P(D)\leqslant1$ .

Pista 2: Para cada conjunto $A$ y $B$ , $(A\cap\overline{B})\cap(B\cap\overline{A})=\varnothing$ .

Esperando que puedas probar las pistas 1 y 2 y proceder a partir de ahí.