Quiero demostrar que ningún grupo de orden $90=2 \cdot3^2 \cdot5 $ es simple. La parte (iii) del Teorema de Sylow da
$$n_2 \in\{1,3,5,9,15,45\} $$ $$n_3 \in \{1,10\} $$ $$n_5 \in \{1,6\} $$
Soy consciente de la solución que aparece aquí pero me pregunto si es posible un enfoque más de "fuerza bruta", como el siguiente:
Suponiendo que $G$ es un grupo simple de orden $90$ tenemos
$$n_2 \in\{3,5,9,15,45\} $$ $$n_3=10 $$ $$n_5=6 $$
G tiene entonces $6(5-1)=24$ elementos de orden $5$ y $n_2$ elementos de orden $2$ . El resto $66-n_2$ los elementos deben ser exactamente los de la unión $$\bigcup_{i=1}^{10} P_i $$ de los subgrupos Sylow 3.
Ahora tratamos de estimar el tamaño de esa unión: El principio de inclusión-exclusión da
$$\left| \bigcup_{i=1}^{10} P_i \right|=\sum_{n=1}^{10} (-1)^{n+1} \sum_{i_1 <i_2<\dots <i_k} \left|P_{i_1} \cap P_{i_2} \cap \dots \cap P_{i_k} \right| $$
Obviamente, el $n=1$ en la suma anterior es $90$ y cada intersección tiene un orden posible $1$ o $3$ (Según el Teorema de Lagrange). ¿Es posible encontrar el valor mínimo de esta expresión?
He pensado en dividir cada suma interna en dos, la suma sobre las intersecciones triviales, y las intersecciones de tamaño $3$ . Pero los cálculos parecen difíciles de manejar.
Gracias.
