Cuál es el rango y el dominio de la siguiente función

Question

Tengo la función $f(x,y)=\arctan\left(\dfrac{1}{\sin(x+y)}\right)$

Entiendo que para el dominio, $\sin(x+y)$$ \N - 0 $ and therefore $ x+y\neq n \pi$

Además, ¿cuál es el alcance de la función?

Answer 1

Digamos, $x+y=t$ para que $f=\arctan(1/sint)$ .

Ahora , $-1\le sint\le 1 \implies 1/sint \ge 1 $ o $\le -1$ .

$arctan()$ es una función creciente por lo que

$f=\arctan(1/sint)\ge \arctan(1)$ o $\le \arctan(-1)\implies f\ge \pi/4 $ o $f\le -\pi/4$

Suponiendo que, en realidad, se trabaja con la rama principal de la función tan inversa (es decir $-\pi/2$ a $\pi/2$ ), rango de $f$ es $(-\pi/2,-\pi/4]\cup [\pi/4,\pi/2) $