Grupo que "se asemeja" al producto libre de un grupo cíclico de orden dos y un grupo cíclico de orden tres, pero no lo es.

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo explícito de un grupo con dos generadores $a$, $b$, de tal manera que $a^2 = b^3 = 1$ y $a b$ tiene un orden infinito, pero que no es isomórfico al producto gratuito de $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_3$?

Answer 1

Es sencillo calcular que el subgrupo del conmutador $G' = D$ de $G = \langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle$ es un grupo libre en los generadores $x=bab^{-1}a$, $y=b^{-1}aba$, donde $|G:D|=6$.

Ahora $(ab)^6$ es igual al conmutador $x^{-1}yxy^{-1}$, que se encuentra en $D'$ pero no en $D''$, por lo que si añadimos cualquier elemento no trivial de $D''$ como un relador adicional de $G$, entonces obtendremos un ejemplo con la propiedad requerida.