¿Puede ser integrable una función que tiene incontables puntos de discontinuidad?

Question

En primer lugar, me gustaría mostrarte cómo definimos las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue para asegurarnos de que estamos hablando de lo mismo:

Riemann-intregrabilidad

Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función.

$$O(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$$ $$U(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$$

$$\overline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx:=\inf_ZO(Z) := \inf \{ O(Z) : Z \mbox{ is a segmentation of } [a,b] \}$$ $$\underline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx:=\sup_ZU(Z):= \sup \{ U(Z) : Z \mbox{ is a segmentation of } [a,b] \}$$

$f$ se llama Riemann-integrable sobre $[a, b] \subset \mathbb{R} :\Leftrightarrow \underline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx=\overline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx$

Esta es la imagen que teníamos en mente cuando presentamos la integral de Riemann:

Lebesgue-integrabilidad

Sea $\emptyset \neq X \in \mathfrak{B}_d$ ser y $f:X \rightarrow [0;\infty)$ ser un función simple con forma normal $f=\sum_{j=1}^m y_j \mathbb{1}_{A_j}$ . La integral de Lebesgue se define como

$$\int_X f(x) dx := \sum_{j=1}^m y_j \lambda_d(A_j)$$

Mi pregunta

¿Existe alguna función con un número incontablemente infinito de puntos de discontinuidad, que sea Riemann-integrable / Lebesgue-integrable? En caso negativo, ¿por qué?

Relacionado

La siguiente función tiene un número contablemente infinito de puntos de discontinuidad y es Riemann-integrable ( fuente ):

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ que se define como

$$f(x)=\begin{cases} 1& \text{ if } \exists n \in \mathbb{N}: x=\frac{1}{n}\\ 0& \text{ otherwise} \end{cases}$$

Y $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 0$

Answer 1

La función indicadora (función característica) del conjunto de Cantor de tercios medios $C$ es integrable tanto en Riemann como en Lebesgue (con integral $0$ ) y es discontinua en cada punto de $C$ .

Answer 2

El Teorema de Lebesgue establece que una función es Riemann-integrable si y sólo si es continua en casi todas partes (es decir, fuera de un conjunto de medida $0$ ). La respuesta de Brian y Amr se limita a señalar que el conjunto de Cantor $C$ es un conjunto incontable con medida $0$ y su función característica se encuentra precisamente en los puntos de $C$ (ya que un punto fuera de $C$ está, por construcción, contenido en un intervalo abierto en el complemento de $C$ y dos puntos cualesquiera en $C$ están separados por un punto en el complemento). Deberías poder comprobar a mano (es decir, sin el teorema) que esta función es realmente integrable de Riemann.

Answer 3

Sea $C$ sea el conjunto cantor. Definir $f:R\rightarrow\{0,1\}$ tal que $f(x)=1$ si $x\in C$ de lo contrario, que $f(x)=0$ . Desde $C$ es medible, se deduce que $f(x)$ es medible, ya que $f(x)$ está limitada por $\chi_{[0,1]}$ Por lo tanto $f$ es integrable. Por último, es fácil comprobar que $f(x)$ es discontinua en cada $x\in C$