Supongamos que $n$ es un entero mayor que 3. A veces oí en alguna parte que todavía no se sabe si existen pliegues hiperbólicos de volumen finito completos que tengan exactamente una cúspide.
¿Podría alguien confirmar que el problema de encontrar tales ejemplos en cada dimensión todavía está abierto, o, preferiblemente, darme una referencia para ejemplos de colectores hiperbólicos de una sola cúspide en dimensión arbitraria?
Estimado Roberto, para añadir información del comentario de Agol, en el Teorema 1.3 de este artículo se demuestra que no hay $n$ hiperbólicos aritméticos de una sola cúspide -orbifolds para $n\geq 30$. Además, Stover muestra pliegues orbitales hiperbólicos aritméticos de una sola cúspide en las dimensiones 10 y 11.
Queridos todos, hoy apareció un documento de Kolpakov y Martelli sobre el arxiv que muestra que existen muchos colectores hiperbólicos cúspides de 4 dimensiones con una cúspide. Aquí está la referencia
http://arxiv.org/abs/1303.6122
El caso general sigue abierto, creo.
De hecho, el caso general está abierto. En el caso de la dimensión cuatro, utilizamos la celda Coxeter $24$, que es un politopo recto ideal (ideal significa que todos sus vértices están en $\partial \mathbb{H}^4$). Se sabe (un pequeño resultado mío) que ahora hay politopos en ángulo recto ideales en dimensiones mayores o iguales a $7$ (sin embargo, no sé nada sobre las dimensiones $5$ y $6$). Por lo tanto, no hay esperanza de utilizar politopos ideales en ángulo recto en dimensiones superiores.
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