Demuestre que existe una sucesión de $(f_n)_n$ que converge a $f$ casi en todas partes.

Question

Dejemos que $(X,\mathcal{B}, \mu)$ sea un espacio de medidas y suponga la secuencia $(f_n)_n$ converge a $f$ en $L^p(\mu)$ , donde $1\leq p<\infty$ . Demuestre que existe una sucesión de $(f_n)_n$ que converge a $f$ casi en todas partes.

¿No es cierto que para toda subsecuencia de $(f_n)_n$ ?

Intento: Desde $f_n\to f$ en $L^p$ para cualquier $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todo $n,m\leq N$ , $\|f_m-f_n\|_p<\epsilon /2$ o $\|f_n-f\|_p<\epsilon /2$

Dejemos que $(f_{n_k})_k$ sea cualquier sucesión de $(f_n)_n$ . Entonces $$\|f_{n_k}-f\|_p\leq \|f_{n_k}-f_n\|_p+\|f_n-f\|_p< \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon.$$

No sé cuál es el problema aquí. ¿Puede alguien comprobar mi prueba? Gracias.

Answer 1

Elija una subsecuencia $(\tilde f_k)_k = (f_{n_k})_{k}$ tal que $\|\tilde f_{k+1} - \tilde f_k\|_p \le 2^{-k}$ . Entonces $$g:= \sum_{k=1}^{\infty} |\tilde f_{k+1} -\tilde f_k| \in L^p(\mu)$$ desde $$\|g\|_p \le \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \le 1.$$ Por lo tanto, la serie $\sum_{k=1}^{n}|\tilde f_{k+1} - \tilde f_k|$ converge en casi todas partes, ya que $|g|<\infty$ casi en todas partes. Por lo tanto, también $$ \tilde f_{n+1} - \tilde f_1 =\sum_{k=1}^n \tilde f_{k+1} - \tilde f_k$$ converge en casi todas partes, es decir, la subsecuencia converge en casi todas partes. Dado que $$ |\tilde f_{n+1}| \le |\tilde f_1| + |g| \in L^p(\mu), $$ a partir del teorema de convergencia de Lebesgue, la subsecuencia también converge en $L^p(\mu)$ hacia su límite puntual. Como la subsecuencia también converge a $f$ en $L^p(\mu)$ el límite puntual es $f$ .

Answer 2

Lo que ha demostrado es que si $f_n$ converge a $f$ en $L^p$ entonces también cada subsecuencia $f_{n_k}$ converge a $f$ en $L^p$ .

Hay que demostrar la convergencia en casi todas partes, es decir $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ para casi todos los $x$ .

Answer 3

El contraejemplo estándar a su afirmación de que la convergencia puntual se mantiene para cada subsecuencia es el siguiente. Establezca

$$ A_{n,m}:=[(n-1)/m, n/m] $$

Entonces

$$1_{A_{1,1}}, 1_{A_{1,2}}, 1_{A_{2,2}}, 1_{A_{1,3}}, \dots$$

converge en $L_p[0,1]$ a la función cero. Pero no converge puntualmente a la función cero (de hecho, diverge en cada punto).