¿Cuántos palíndromos de 5 dígitos son divisibles por 9?

Question

Lo que ya tengo,

1. Palíndromo en forma XYZYX, donde X no puede ser 0.
2. Regla de divisibilidad del 9: la suma de los dígitos es divisible por 9. Así, tenemos 2(X+Y)+Z = 9M.
3. La primera parte es divisible por 9 si y sólo si X+Y es divisible por 9. Entonces, tenemos 10 pares de 90. Y cada uno de estos pares la suma total es divisible por 9 cuando Z también es divisible por 9. Hay 2 de estos Z: 0, 9. Así que hay 20 palíndromos divisibles.
4. Si (X+Y) mod 9 = 1, entonces 2(X+Y) mod 9 = 2; y para que la suma total sea divisible por 8, Z debe tener el resto de 1 cuando se divide por 9. Hay 1 Z de este tipo: 1. Y de nuevo, tenemos 10 pares xy con el resto dado. Por tanto, este caso da 10*1 = 30 palíndromos más.
5. La misma lógica del paso anterior se aplica al caso en que 2(X+Y) mod 9 = 2.
6. Entonces, ¿el número total de palíndromos divisibles = 80?

Cuando uso este método, sólo obtengo 80 números de palíndromos de 5 dígitos que son divisibles por 9(?) no creo que esté haciendo este método correctamente, ¿puede alguien mostrarme qué está pasando aquí?

Answer 1

Como bien has mencionado, necesitamos averiguar todas las tuplas de $(X,Y,Z)$ tal que $$2(X+Y)+Z\bmod 9 = 0 \implies 2(X+Y)\bmod 9 = (9-Z)\bmod 9 \tag{1}$$ También, $2(X+Y)$ es par y puede tomar valores $0,2,4,6,8$ . Para cada uno de estos valores, podemos encontrar los valores de $Z$ satisfaciendo $(1)$ : $$ Z = \begin{cases} 0,9 & \text{if } 2(X+Y)\bmod 9 = 0\\ 7 & \text{if } 2(X+Y)\bmod 9 = 2\\ 5 & \text{if } 2(X+Y)\bmod 9 = 4\\ 3 & \text{if } 2(X+Y)\bmod 9 = 6\\ 1 & \text{if } 2(X+Y)\bmod 9 = 8. \end{cases}$$

Por lo tanto, el número total de palíndromos divisible por $9$ es $90 +n$ donde $n$ es el número de pares $(X,Y)$ tal que $2(X+Y)\bmod 9 = 0$ .

Además, $$2(X+Y)\bmod 9 = 0\iff (X+Y)\bmod 9 = 0\implies n = 10.$$

Por lo tanto, el número total de $5-$ palíndromos de dígitos divisibles por $9$ es $100$ .

Answer 2

La respuesta es $100$ Mi argumento es el siguiente.

$X$ se elige un dígito de $1$ a $9$ y $Y$ de $0$ a $9$ , ahora quieres que $9|(2(X+Y)+Z)$ .

Dos casos:

(1) si $9|2(X+Y)$ entonces $2(X+Y)=9k$ para algún número natural $k>0$ y como $Z$ es un número entero de $0$ a $9$ tendrías que ambos $Z=0,9$ trabajo.

(2) si $9\not|2(X+Y)$ entonces tendrías que existe $k$ número natural tal que $9(k-1)<2(X+Y)<9k$ y todavía porque $0\le Z\le 9$ se obtiene esta vez que sólo existe un valor de $Z$ que satisface el problema, y es $9k-2(X+Y)$ .

Así que queremos encontrar cuando $9|2(X+Y) \Rightarrow 9|(X+Y)$ Así que si $1\le X\le8$ entonces $Y=9-X$ ; si $X=9$ entonces $Y=0,9$ trabajo. Así que $10$ casos en los que ocurre (1)

Para concluir: hay $9\cdot 10=90$ posibilidades entre $X,Y$ de los cuales $10$ casos son (1) y $80$ son (2), por lo que el número final es $10\cdot 2 + 80\cdot 1=100$