Función reductora que se expresa en términos de 1 función trigonométrica

Question

Estoy buscando una forma de expresar $\tan(x) + \sec(x)$ como una función expresada en términos de una única función trigonométrica. Hasta el momento lo tengo en:

$$ \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x} + 1}{\cos(x)} $$

¿Hay una forma más limpia de definir esto? Básicamente tengo:

$$ y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x} + 1}{\cos(x)} $$

y necesito expresar $x(y)$ .

Answer 1

$$ \begin{align} & \tan x + \sec x = \frac{\sin x + 1}{\cos x} = \frac{\cos y + 1}{\sin y} = \frac{1}{\left( \frac{\sin y}{1+\cos y} \right)} = \frac{1}{\tan\frac y 2} \\[15pt] = {} & \cot\frac y 2 = \cot\left(\frac{\frac\pi2 - x}{2}\right) = \cot\left(\frac\pi4-\frac x2\right) \end{align} $$ donde $y=\dfrac\pi2-x$ .

Una de las muchas fórmulas de medio ángulo tangente dice $$ \tan x+\sec x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x 2\right). $$ En privado pienso en esto como la "fórmula del medio ángulo tangente del cartógrafo" debido a la aparición de la función $x\mapsto\log(\tan x+\sec x)$ en la proyección Mercator. La proyección Mercator se caracteriza ("se caracteriza" en el sentido matemático preciso de la palabra) por el hecho de que las orientaciones de la brújula se corresponden con las direcciones en el mapa, de modo que, por ejemplo $13^\circ$ al este del norte en la tierra siempre corresponde a $13^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj a partir de la línea recta en el mapa, independientemente de la ubicación geográfica.

Answer 2

$\tan x + \sec x = \dfrac{\sin x + 1}{\cos x} = \dfrac{(\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2}{(\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}))(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))} = \dfrac{\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})} = \dfrac{\tan(\frac{x}{2}) + 1}{1 - \tan(\frac{x}{2})}$ .

Dejemos que $t = \tan(\frac{x}{2})$ entonces:

$f(x) = f(t) = \dfrac{t + 1}{1 - t}$

Answer 3

Una pista: $$\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1 \Rightarrow 1-\cos^2(x) = \sin^2(x)$$