La afirmación de que el número de giro de una curva plana es un múltiplo de $2\pi$ y el teorema de Gauss-Bonnet se parecen en que ambos afirman que la integral de una medida de curvatura depende de la topología pero no de la forma de la variedad. ¿Existe un teorema que unifique las dos afirmaciones y que permita obtener la primera para $n=1$ y el último para $n=2$ ? ¿Qué dice para $n=3$ ?
Respuesta
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El concepto unificador es el grado del mapa de Gauss de una hipersuperficie cerrada. En general, si se tiene un mapa suave $f\colon X\to Y$ entre las compactas orientadas (riemannianas) $n$ -la integral de su jacobiano da el grado del mapa por el volumen de $Y$ . Más concretamente, si $\omega$ es la forma de volumen de $Y$ entonces $$\int_X f^*\omega = \text{deg}(f)\int_Y\omega.$$ Para un debate detallado, véase $\S$ 9 del capítulo 4 de la obra de Guillemin y Pollack Topología diferencial .
