Encuentra tres polinomios cuyos cuadrados sumen $x^4 + y^4 + x^2 + y^2$

Question

Demostrar que $$p(x,y) = x^4 + y^4 + x^2 + y^2$$ puede escribirse como una suma de cuadrados de tres polinomios sobre $x,y$ para los números reales.

Answer 1

$(\sqrt{2\sqrt{2}-2}y^2+x)^2 + (-\sqrt{2\sqrt{2}-2}xy + y)^2 + (x^2 + (1-\sqrt{2})y^2)^2 = x^4+y^4+x^2+y^2$ .

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De hecho, hay muchas otras soluciones utilizando la fuerza bruta, como sugiere Will Jagy en los comentarios.

Paso 1 Supongamos que $x^4+y^4+x^2+y^2 = \sum_{i=1}^3 (a_i x^2 + b_i xy + c_i y^2 + d_i x + e_i y)^2$ . Si escribimos $\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$ y así sucesivamente, obtenemos las siguientes identidades comparando los coeficientes:

Parte (a): $x^2: \| \vec{d} \|^2 = 1$ , $y^2: \| \vec{e} \|^2 = 1$ , $xy: \langle \vec{d}, \vec{e} \rangle = 0$ .

Parte (b): $x^3: \langle \vec{a}, \vec{d} \rangle = 0$ , $y^3: \langle \vec{c}, \vec{e} \rangle = 0$ , $x^2y: \langle \vec{b}, \vec{d} \rangle = - \langle \vec{a}, \vec{e} \rangle$ , $xy^2: \langle \vec{b} ,\vec{e} \rangle = - \langle \vec{c}, \vec{d} \rangle$ .

Parte (c): $x^4: \| \vec{a} \|^2 = 1$ , $y^4: \| \vec{c} \|^2 = 1$ , $x^2y^2: \| \vec{b} \|^2 + 2 \langle \vec{a}, \vec{c} \rangle = 0$ , $x^3y: \langle \vec{b}, \vec{a} \rangle = 0$ , $xy^3: \langle \vec{b}, \vec{c} \rangle = 0$ .

(Todos los productos internos son productos internos euclidianos estándar)

Paso 2 Consideramos una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ : $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ . Para ello se ha utilizado la parte (a).

Utilizando la parte (b), obtenemos

$\vec{a} = x_1 \vec{e} + y_1 \vec{f}$ ,

$\vec{b} = -x_1 \vec{d} - x_2 \vec{e} + y_3 \vec{f}$ ,

$\vec{c} = x_2 \vec{d} + y_2 \vec{f}$

para algunos reales $x_1,x_2,y_1,y_2,y_3$ .

Paso 3 La parte (c) nos dice que

$x_1^2 + y_1^2 = 1$ , $x_2^2 + y_2^2 = 1$ . (De la norma de $\vec{a}, \vec{c}$ siendo 1.)

$y_1y_3 = x_1x_2$ , $y_2y_3 = x_1x_2$ (De $\vec{b}$ perpendicular a $\vec{a}, \vec{c}$ .)

$x_1^2+x_2^2+y_3^2 + 2y_1y_2 = 0$ .

En la segunda ecuación, si $y_3$ no es 0, entonces $y_1 = y_2$ que obliga a $x_1 = x_2 = y_1 = y_2 = y_3 = 0$ en la tercera ecuación, contradiciendo la primera ecuación.

Así que $y_3 = 0$ , lo que implica $x_1x_2 = 0$ . WLOG asumir $x_1 = 0$ entonces $y_1 = \pm 1$ . La tercera ecuación se convierte en

$0 = x_2^2 + 2y_1y_2 = 1 - y_2^2 + 2y_1y_2 = 2 - (y_2 - y_1)^2$ .

Así que $y_2 - y_1 = \pm \sqrt{2}$ . La primera ecuación nos dice que $y_1,y_2$ tiene normas menores que 1, lo que implica que $y_2 = \pm (1 - \sqrt{2})$ . Esto da $x_2 = \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 2}$ .

En resumen, hasta la simetría de $(x_1,y_1) \leftrightarrow (x_2,y_2)$ tenemos $x_1 = 0$ , $y_1 = \pm 1$ , $y_2 = \pm (1 - \sqrt{2})$ (mismo signo que $y_1$ ), $x_2 = \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 2}$ y $y_3 = 0$ .

Paso 4 Escogiendo una base ortonormal arbitraria $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ podemos sustituir los valores de $x_1,x_2,y_1,y_2,y_3$ arriba para obtener soluciones para $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Todo esto daría la descomposición de la suma de cuadrados requerida. La descomposición que tomé arriba viene de elegir la base ortonormal estándar de $\mathbb{R}^3$ .