Continuidad con respecto a los conjuntos proyectados en

Question

Sea $(\mathbb R^n,\|\cdot\|)$ el espacio métrico euclidiano y $X\subset \mathbb R^n$ un conjunto compacto y convexo. Sea

$$f(X)=\arg\min_{x\in X}\|x\|$$

Sea $(X_k)_{k\geq 1}\subset \mathbb R^n$ una secuencia de conjuntos compactos y convexos y $X_k\to X$ en la métrica de Hausdorff.

¿Cómo puedo demostrar que $f(X_k)\to f(X)?$

Gracias.

Answer 1

Dado que $X$ y $X_k$ son compactos (y supongamos que no vacíos), es bastante simple.

Pistas:

1. Para conjuntos compactos no vacíos $A,B$ tenemos $\max_{a\in A} d(a, B) \le \epsilon$ si y solo si $A\subseteq B + \bar U_\epsilon$ donde $\bar U_\epsilon$ es la bola cerrada centrada en $0$ con radio $\epsilon > 0$.
2. Entonces, para $y_k:= f(X_k)$ y $y:=f(X)$ existe algún $x_k \in X_k$ con $\|y - x_k\| \to 0$ y $z_k\in X$ con $\| y_k - z_k \| \to 0$. Así, tenemos $$ \|y\| - \|y_k - z_k\| \le \|z_k\| - \|y_k - z_k\| \le \|y_k\| \le \| y \| + \|x_k - y\| $$ y $$ \lim_k \|y_k\| = \|y\|. $$
3. Supongamos que $y_k$ no tiende a $y$. Entonces, existe una subsucesión convergente $y_{k_n} \to \bar y \in X \setminus\{ y \}$.
4. Por lo tanto, tenemos $\|y\| = \lim_n \|y_{k_n}\| = \|\bar y\| > \|y\|$, lo cual es una contradicción.