endomorfismo nilpotente

Question

$E$ es un espacio lineal y $\dim(E)=n$ $f$ es un endomorfismo de $E$ $\ f^n = 0$ y $\ f^{n-1} \neq 0$

para $x$ en $E$ que $f^{n-1} \neq 0$ demostramos que $(x,f(x),...,f^{n-1}(x) )$ es una base de $E$ para g es un endomorfismo de E

cómo desmantelar que $g \circ f = f \circ g$ equivale a $g \in \operatorname{vect} (id,f,...,f^{n-1})$

Answer 1

En primer lugar, si $g=\sum_{i\ge 0}\lambda_i f^i$ entonces, obviamente, tendremos $f\circ g=g\circ f$ .

Para la inversa, suponga $f\circ g=g\circ f$ .
Dejemos que $\lambda_i$ sean los coeficientes de $g(x)$ en la base $(x,f(x),f^2(x),\dots, f^{n-1}(x))$ es decir $$g(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i f^i(x)$$ Ahora la suposición implica $g(f^k(x))=f^k(g(x))$ por cada $k$ y por lo tanto $$g(\,f^k(x)\,)=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i f^{k+i}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i f^i(\,f^k(x)\,)\,.$$ Desde $(f^k(x))_{k=0}^{n-1}$ es una base, obtenemos $g\ =\ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i f^i$ .

[Tenga en cuenta que no usamos ese $f$ es nilpotente, sólo que $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ es una base].