Estoy leyendo el libro Plasma dynamics de Dendy (2002) y me he tropezado con la derivación de una prueba.
No entiendo muy bien por qué la ecuación $1.23$ es igual a cero. Además, la ecuación I. $9$ es $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ .
Agradecería cualquier ayuda/sugerencia. Gracias.
Si linealizamos las ecuaciones, suponemos que todas las cantidades pueden escribirse como $$ Q\left( \mathbf{x}, t \right) = Q_{o} + \delta Q $$ donde $Q_{o}$ es constante y $\delta Q \propto e^{i \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega \ t \right)}$ . Esto significa que los operadores pueden ser sustituidos de la siguiente manera: $$ \begin{align} \nabla & = i \ \mathbf{k} \\ \partial/\partial t & = -i \ \omega \end{align} $$ En el caso de una onda electrostática como las oscilaciones de Langmuir a las que te refieres, las partículas oscilan a lo largo del campo magnético cuasiestático. La onda en sí es una longitudinal oscilaciones, es decir, el vector de onda está alineado con las oscilaciones del campo eléctrico.
Así que si miramos Ley de Faraday y utilizamos la aproximación lineal anterior sabiendo que $\mathbf{k} \ \parallel \ \delta \mathbf{E}$ (es decir, el producto cruzado de dos vectores paralelos es nulo) encontramos que: $$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \mathbf{k} \times \delta \mathbf{E} & = -i \ \omega \ \delta \mathbf{B} \\ & = 0 \end{align} $$
Así, si tomamos la derivada temporal parcial de Ley de Ampere (es decir, la ecuación 1.22 en su imagen), encontramos: $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) & = \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_{o} \mathbf{j} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & = \mu_{o} \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \\ 0 & = \mu_{o} \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \end{align} $$ que es precisamente lo que se muestra en su ecuación 1.23.
No estoy seguro de entender su pregunta...
Suponiendo que la ecuación 1.23 es correcta, y que el campo eléctrico es de la forma $$E = E_0 e^{i\omega t}$$
(es decir, "oscilando" con movimiento armónico simple), entonces la segunda derivada con respecto al tiempo cancela exactamente la $\omega^2 E$ término... y por lo tanto es cero.
¿Es eso lo que preguntabas?
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