Prueba básica por inducción, se requiere asistencia

Question

Con la siguiente pregunta. ¿Es mejor empezar la demostración demostrándolo para n=0, n=1 o para ambos? Una vez hecho esto, lo demuestro para n=p donde p es cualquier número entero igual o mayor que 0. Para la tercera parte lo demuestro para n=p+1. Es más fácil demostrarlo para n=p+1 una vez que lo he demostrado ya para n=1, ¿estoy en lo cierto? Se agradece toda la ayuda...

Answer 1

Si $$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$$ entonces $$(1+x)^{n+1}=(1+x)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k=$$ $$=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k+x\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$$ $$=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k+1}=$$ $$=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{k}=$$ $$=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}x^k+\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{k}=$$

$$=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)x^k=$$ $$=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^k$$ utilizamos el hecho de que $\binom{n}{k}=0$ si $k<0,k>n$ y la identidad de Pascal

Answer 2

Se comienza con $n = 0$ . Entonces asume que es cierto para $n = k$ (por lo que no es necesario demostrarlo). Entonces demuestre que si es cierto para $n = k$ debe ser cierto para $n = k+1$ . El resultado se obtiene por inducción en $n$ .