Para un pequeño número de jugadores, podemos encontrar un mínimo de configuraciones de la mano. Aquí están algunos ($n$ es el número de jugadores, $z$ es el total de zombie contar, y los números en los diagramas que se muestran de cada jugador individual zombie count):
n=1, z=8: 8
n=2, z=14: 7 7
n=3, z=18: 6
6 6
n=4, z=20: 5 5
5 5
5
n=5, z=24: 5 4 5 or 5 4
5 5 4 6
n=6, z=26: 5 3 5
5 3 5
5 4 5 4
n=7, z=28: 3 2 5 or 4 2 4
5 4 4 5
Creo que estas son las únicas configuraciones mínimas de seguridad para la reflexión y la rotación.
En el otro extremo de la escala, podemos ver lo que sucede cuando las $n$ se hace muy grande. En el límite, podemos ignorar la esquina efectos, lo que simplifica el análisis. Supongamos que organizar a los jugadores en un cuadrado de $a \times a$ red, por lo que el $n = a^2$ $-$ ignorar los efectos de la esquina $-$ $z = 12a$ (porque cada borde jugador tiene un individuo zombie conteo de $3$). Así tenemos, por un cuadrado de la cuadrícula en el límite:
$$n=\frac{z^2}{144}$$
Now let's try to round off the corners, by constructing an octagon like this:
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
where the horizontal and vertical edges contain $un$ players, and the diagonal edges contain $b$ players. In the diagram, $=6$ and $b=4$ (this double-counts the corners, but we don't care about corner effects here because we are interested in the limiting behaviour as $n$ becomes large). All players on an edge have individual zombie counts of $3$, but players in the second rank of a diagonal edge have a zombie count of $1$. Así, obtenemos:
$$z = 12a+16b$$
$$n = a^2 + 4ab + 2b^2$$
Supongamos $z$ fijo. Entonces la primera ecuación nos da $b$ en términos de $a$, que se sustituye en la segunda ecuación para dar una ecuación de segundo grado en $a$. A continuación, podemos encontrar el máximo valor de $n$ mediante el establecimiento de la derivada a $0$. Si usted hace el álgebra, consigue, sorprendentemente:
$$a = b = \frac{z}{28}$$
(Me sorprendió, de todos modos.) Así tenemos, para una óptima octágono en el límite:
$$n=\frac{z^2}{112}$$
This is significantly better than a square.
Note that, although $un$ and $b$ are equal, this is not a regular octagon $-$ for that, we would need $a=b\sqrt 2$. The reason that a regular octagon is not best is that diagonals cost fewer zombies per Euclidean unit distance ($2\sqrt 2$) than horizontals and verticals ($3$). So it seems clear that the limiting shape is not a circle.
Edited to add: The zombie cost per unit distance along the edge depends on the slope $\delta$ de la siguiente manera:
$$\frac{3|\delta|+1}{\sqrt{1+\delta^2}} \text{ if } |\delta| \ge 1$$
$$\frac{|\delta|+3}{\sqrt{1+\delta^2}} \text{ if } |\delta| \le 1$$
Quizás mejor cerebros que yo pueda trabajar fuera de la limitación óptima forma de este.
