Encuentre la probabilidad de un evento afectado por dos variables de distribución normal.

Question

Una empresa produce botellas de zumo de 2 litros. Una máquina llena la mitad de la botella con zumo concentrado y otra máquina llena la otra mitad con agua. Sea X la cantidad de concentrado de la primera máquina una variable aleatoria que obedece a N(0,98;0,0009) y sea Y la cantidad de agua que está dando la segunda máquina una variable aleatoria que obedece a N(1,02;0,0016). ¿Cuál es la probabilidad de que una botella tenga más de 1,98L de zumo?

No estoy muy seguro de cómo empezar ese problema. ¿Agrego una tercera variable que represente las dos variables normales?

Gracias.

Answer 1

La cantidad total de líquido en la botella viene dada por la suma de la cantidad añadida por la primera máquina y la cantidad añadida por la segunda máquina.

Ahora, la suma de dos distribuciones normales vuelve a ser normal: $$Z:= X + Y \sim \mathcal{N}(0.98 + 1.02, 0.0009 + 0.0016) = \mathcal{N}(2,0.0025).$$

Aquí se han añadido las desviaciones porque suponemos que las dos máquinas inyectan líquido de forma independiente.

Ahora hay que calcular $$\mathbb{P}(Z \ge 1.98) = \mathbb{P}(\frac{Z-2}{\sqrt{0.0025}} \ge \frac{1.98-2}{\sqrt{0.0025}}) = 1-\Phi(\frac{1.98-2}{\sqrt{0.0025}})$$

Answer 2

Creo que hay que encontrar la suma de todas las probabilidades de $X = x$ y $Y = y$ para $x + y > 1.98$ .

$$P(x+y > 1.98) = \sum_{x+y>1.98} P(X = x) \cdot P(Y = y).$$

Podrías detenerte aquí y hacerlo computacionalmente, pero probablemente haya una buena forma analítica (¿que implique integración?) que desconozco.