Comprender el cálculo correlacionando el tiempo/distancia con la velocidad

Question

Tomemos como ejemplo la caída libre donde la gravedad es de 9,81 m/s^2, la velocidad = gt y la distancia es = 0,5gt^2 donde t es el tiempo en segundos. Digamos que si saltas, alcanzarás la máxima altura y desde ese punto exacto en el tiempo, la distancia y la velocidad son cero y partimos de ahí.

$$\begin{array}{c|c|c} \text{Time} & \text{Distance} & \text{Speed} \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 4.905 & 9.81 \\ \hline 2 & 19.62 & 19.62 \\ \hline 3 & 44.145 & 29.43 \\ \hline 4 & 78.48 & 39.24 \\ \hline \end{array}$$

Podemos calcular la velocidad mediante el cálculo diferencial utilizando la fórmula de la distancia como nuestra función, entonces a partir de 0,5gt^2 simplemente simplificamos a f(t) = 4,095t^2, su derivada es f'(t) = 9,81t. Así sabemos que la velocidad instantánea donde t es igual a 4 es de 39,24m/s.

Lo que parece que me falta es lo que representa dy/dx, si representa la relación entre el tiempo/distancia y la velocidad, déjame probar y por favor dime si esto es exacto:

La secante/pendiente (dy/dx) para puntos en el plano 2D: P1 (3,4.145), P2(4,78.48) se encuentra por ((y2 - y1) / (x2 - x1)) = 24.525 y la correlación con la velocidad es que si se promedia la velocidad en los tiempos 3 y 4 (39,24+29,43)/2 se obtiene 24.525 y esa es la correlación Por lo tanto, la derivada es la tasa de cambio de y con respecto a x.

gracias por su tiempo, estoy tratando de explicarme esto.

Answer 1

Tienes razón. Se puede demostrar matemáticamente. Tenemos la siguiente fórmula para la distancia (aceleración constante $g$ ):

$$s(t)=\frac12\cdot g\cdot t^2 $$

En primer lugar, calculamos $$\frac{s_3-s_2}{t_3-t_2}=\frac12\cdot g\cdot \frac{ t_3^2-t_2^2}{t_3-t_2}=\frac12\cdot g\cdot (t_2+t_3)\quad(\color{blue}*)$$

En la última igualdad se ha aplicado la tercera fórmula binomial. El siguiente paso es calcular la derivada de $s(t)$ por ejemplo $t$

$$s'(t)=v(t)= g\cdot t $$

Entonces obtenemos $$\frac{v_2+v_3}{2}=\frac12\cdot g\cdot (t_2+t_3)\quad(\color{blue}{**})$$

Las dos expresiones $(*)$ y $(**)$ son iguales.