topología relacionada con el espacio binario

Question

Me topé con esta topología basada en el espacio binario, tal vez utilizando una terminología oscura, pero tengo curiosidad por saber qué es y sus propiedades.

Sea el espacio binario el conjunto de cadenas de $0,1$ 's, y dejar que $S$ sea el conjunto de todas las funciones que mapean el espacio binario a un conjunto de dos elementos, $\{0,1\}$ . Es como si decidiera un verdadero o falso para cada cadena binaria. Para la topología $\mathcal{T}$ , dejemos que un conjunto básico sea $U_{V,f}$ donde cualquier $g$ en este conjunto debe satisfacer $g(x)=f(x)$ para todos $x$ en $V$ y $V$ es un subconjunto finito de $B$ .

¿Es este espacio $(S,\mathcal{T})$ ¿Hausdorff? ¿Compacto? Cualquier material relacionado es bienvenido.

Gracias

Answer 1

El conjunto de secuencias binarias finitas $B$ se denota $\{0,1\}^{<\omega}$ . Su conjunto $S$ es el conjunto de funciones $f:\{0,1\}^{<\omega}\to \{0,1\}$ . Es decir, $$S=\{0,1\}^{\{0,1\}^{<\omega}}.$$

Ha definido un conjunto abierto básico en torno a $f\in S$ para ser el conjunto de todos los $g\in S$ que están de acuerdo con $f$ en un subconjunto finito dado de ${\{0,1\}^{<\omega}}$ . Así es exactamente como se definen los conjuntos abiertos básicos en la topología del producto. Como producto de espacios compactos de Hausdorff (en su caso $\{0,1\}$ ) es Hausdorff compacto en la topología del producto, $S$ es Hausdorff compacto. No te quedes con el conjunto de índices $\{0,1\}^{<\omega}$ . Se podría sustituir por cualquier otro conjunto contablemente infinito (como $\omega$ ) y obtener el mismo espacio.