Cada elemento de $\mathit H$ es representable como un producto de $\mathit H$ -Elementos irreducibles

Question

Tengo que hacer el siguiente ejercicio.

Dejemos que $\mathit H := \{4n+1 : n \in \mathbb N_0 \} \subseteq \mathbb N$ . Un elemento $p \in H \setminus \{1 \}$ se llama $H$ -irreducible si lo siguiente es cierto:

• si $p = a \cdot b$ donde $a,b \in H$ Entonces, o bien $a = 1$ o $b = 1$ .

Demostrar que cada elemento de $\mathit H$ es representable como un producto de $\mathit H$ -Elementos irreductibles.

Según tengo entendido, tengo que demostrar que cada $q \in H$ puede escribirse como $q = p\cdot r$ donde $p,r$ son $H$ -irreducible.

Antes de comenzar mi intento, una observación. He conseguido demostrar que para $a,b \in H$ que $a \cdot b \in H$ .

Dejemos que $p = a \cdot b$ y $r = c \cdot d$ con $a,b,c,d \in H$ . Entonces $q = p \cdot r = a \cdot b \cdot c \cdot d$ .

1. caso: $a = 1, c = 1$ . Entonces $q = b \cdot d$ y $q \in H$ .
2. caso: $a = 1, d = 1$ . Entonces $q = b \cdot c$ y $q \in H$ .
3. caso: $b = 1, c = 1$ . Entonces $q = a \cdot d$ y $q \in H$ .
4. caso: $b = 1, d = 1$ . Entonces $q = a \cdot c$ y $q \in H$ .

¿Es una prueba válida?

Además, si calculo los primeros términos de $H$ entonces me sale:

$H = \{1,5,9,13,17,21,...\}$ . ¿Cómo puedo conseguir exactamente, por ejemplo $13$ como producto de dos elementos de $H$ ?

Answer 1

Demostrar que cada elemento de $\mathit H$ es representable como un producto de $\mathit H$ -Elementos irreductibles.

Según tengo entendido, tengo que demostrar que cada $q \in H$ puede escribirse como $q = p\cdot r$ donde $p,r$ son $H$ -irreducible.

Su interpretación de la segunda frase no es del todo correcta (como también se indica en Davide La pregunta del Sr. G. de la Cruz es la siguiente comentario ). La cuestión es demostrar que cada elemento de $\mathit H$ puede representarse como un producto de cualquier número (es decir, $0$ o más, por lo que no necesariamente son exactamente $2$ ) de $\mathit H$ -Elementos irreductibles. Esto es similar a lo que significa la afirmación de que todos los enteros positivos pueden representarse como un producto de primos $0$ o más primos (por ejemplo $1$ es el único número entero positivo que es producto de $0$ primos).

Considere cualquier elemento $h \in \mathit H$ . Se puede representar mediante algunos números enteros $m, n \ge 0$ por

$$h = \left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)\left(\prod_{j=1}^{2n}q_j\right) \tag{1}\label{eq1A}$$

donde $p_i$ son primos congruentes con $1$ modulo $4$ y $q_j$ son primos congruentes con $3$ modulo $4$ . El número de primos de la forma $q_j$ debe ser par porque un número impar de ellos resultaría en $h \equiv 3 \pmod{4}$ .

Dado que los únicos factores de $p_i$ (para $1 \le i \le m$ ) en $\mathit H$ son $1$ y $p_i$ entonces $p_i = a \times b$ donde $a, b \in \mathit H$ significa $a$ o $b$ es $1$ es decir, $p_i$ es irreducible.

Con $r = q_j q_k$ para cualquier $1 \le j, k \le 2n$ entonces $r = a \times b$ (con $a$ y $b$ siendo enteros positivos) significa que hay $2$ posibilidades. La primera, $a$ y $b$ son $q_j$ y $q_k$ en algún orden. Sin embargo, ninguno de los dos $a$ ni $b$ serían entonces elementos de $\mathit H$ . La segunda posibilidad es $a$ y $b$ son $1$ y $r$ en algún orden, así que como $1, r \in \mathit{H}$ Esto demuestra que $r$ es irreducible.

Así, la reescritura \eqref {eq1A} como

$$h = \left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)\left(\prod_{j=1}^{n}(q_{2j-1}q_{2j})\right) \tag{2}\label{eq2A}$$

indica cómo $h$ puede escribirse como un producto del $\mathit H$ -Elementos irreducibles $p_i$ y $q_{2j-1}q_{2j}$ .