Se lanza un dado 5 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente dos veces un número par y exactamente dos veces un número mayor que 3.

Question

Se lanza un dado 5 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente dos veces un número par y exactamente dos veces un número mayor que 3. El resultado debe ser 0,0707 = 7,07 %.

Esta pregunta es una continuación de esta pregunta .

Anteriormente obtuve pistas y respuestas para separarlo en 3 casos:

Caso 1: Exactamente dos ranuras son pares y mayores que 3.

Choose 2 slots (out of 5) to be even and greater than 3: 5C25C2
Each of those 2 slots can be 4 or 6: 2×2
The remaining 3 slots all must be odd and not greater 3 (1 or 3): 2323

Caso 2: Exactamente 1 ranura es par y mayor que 3.

Choose 1 slot to be even and greater than 3: 
That slot can be 4 or 6: 2
Choose 1 slot out of remaining 4 to be even and not greater than 3: 
That slot must be 2: 1
Choose 1 slot of remaining 3 to be greater than 3 and odd: 
That slot must be 5: 1
Each of the remaining 2 slots must be odd and not greater than 3, that is 1 or 3: 2×2

Caso 3: Ninguna ranura es par y mayor que 3

Choose 2 slots to be even and not greater than 3: 
Those 2 slots must be 2: 1
Choose 2 slots (out of the remaining 3) to be greater than 3 and odd: 
Those 2 slots must be 5: 1×1
The 1 remaining slot must be odd and not greater than 3, that is 1 or 3: 2

Entonces tengo que multiplicar los números con cada caso juntos y sumar 3 casos, luego dividir por 6^5 para obtener 215/1944

¿Cómo calcular cada caso antes de sumar para obtener este resultado? No sé dónde me equivoco en el cálculo

Answer 1

Hay tres casos, según el número posible de solapamientos.

Decimos que un número es grande si es $>3$ , pequeño por lo demás.

Caso I: No hay solapamiento. Hay dos números pares pequeños y dos grandes Impares.

el único número grande de impar es $5$ el único número par pequeño es $2$ . Por lo tanto, sólo tenemos que elegir $2$ ranuras que deben ser ocupadas por $2$ ( $10$ formas de hacerlo)

y luego $2$ ranuras que deben ser ocupadas por $5$ ( $3$ formas de hacerlo)

y luego rellenar la quinta ranura con $1$ o $3$ . ( $2$ formas de hacerlo). Por ello, $$10^*3^*2=60$$

Caso II. Exactamente un punto de solapamiento.

Elija la ranura de solapamiento ( $5$ formas de hacerlo).

Póngalo en marcha ( $2$ formas de hacerlo)

Elige la ranura para el número par pequeño ( $4$ formas de hacerlo)

Póngalo en marcha ( $1$ manera de hacerlo)

Elige la ranura para el número grande de impar ( $3$ formas de hacerlo)

Póngalo en marcha ( $1$ manera de hacerlo)

Rellene las dos ranuras restantes ( $4$ formas de hacerlo)

Por lo tanto, $$5^*2^*4^*1^*3^*1^*4=480$$

Caso III Dos solapamientos

Elija el par de solapamiento ( $10$ formas de hacerlo) Póngalo en marcha ( $4$ formas de hacerlo) rellenar las tres ranuras restantes ( $8$ formas de hacerlo) Por lo tanto, $$10^*4^*8=320$$

Así que (salvo error aritmético) las formas de conseguir lo que quieres número $$60+480+320=860$$ Como hay $6^5$ combinaciones totales la probabilidad es $$\frac {860}{6^5}=\frac {215}{1944}\sim .1106$$