Dejemos que $H$ sea el conjunto de todas las permutaciones $\alpha\in S_5$ satisfaciendo $\alpha(2) = 2$ . Es $H$ ¿un grupo?

Question

Dejemos que $H$ sea el conjunto de todas las permutaciones $\alpha\in S_5$ satisfaciendo $\alpha(2) = 2$ . ¿Cuál de las propiedades (cierre, asociatividad, identidad, inversa) hace $H$ disfrute de en la composición de funciones?

Solución:

Dejemos que $\alpha, \beta, \gamma \in H$ .

Cierre: Para cualquier $\alpha, \beta \in H$ tenemos $\alpha\beta(2)=\alpha(\beta(2))=\alpha(2)=2 $ . Por lo tanto, la composición está cerrada.

La asociatividad: es obvio que $(\alpha \beta) \gamma(2)=\alpha (\beta \gamma)(2)$

La identidad: Supongo que es lo mismo que para $ S_5 $ . Ya que deja fijos el resto de los elementos y sobre todo, a $ 2 $

Inversos: Dado que cada permutación en $ H $ deja $2$ fija, su inversa también. Así que para cada $ \alpha \in H $ hay un inverso.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Su prueba está bien.

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Aquí hay otra

Basta con demostrar que $H$ es un subgrupo de $S_5$ ya que todo subgrupo de un grupo es a su vez un grupo.

Utilizaré el prueba de subgrupos de un solo paso .

Dado que la identidad en $S_5$ fija $2$ trivialmente, tenemos $H\neq\varnothing$ .

Dejemos que $\sigma\in H$ . Entonces $\sigma\in S_5$ tal que $\sigma(2)=2$ ; así, en particular, $\sigma\in S_5$ . Por lo tanto, $H\subseteq S_5$ .

Dejemos que $\sigma,\tau\in H$ . Entonces $\sigma(2)=2$ y $\tau(2)=2$ . Desde $\tau$ es una biyección en $\{1,\dots, 5\}$ que arregla $2$ y su inversa $\tau^{-1}\in H$ (porque $$\begin{align} \tau^{-1}(2)&=\tau^{-1}(\tau(2))\\ &=(\tau^{-1}\tau)(2)\\ &={\rm id}_{S_5}(2)\\ &=2). \end{align}$$ Tenemos

$$\begin{align} (\sigma\tau^{-1})(2)&=\sigma(\tau^{-1}(2))\\ &=\sigma(2)\\ &=2, \end{align}$$

pero la composición de dos biyecciones es una biyección, por lo que $\sigma\tau^{-1}\in H$ .

Por lo tanto, $H\le S_5$ .

Por lo tanto, $H$ es un grupo.