¿Cuál es el significado de la multiplicación (adición) en teoría de la álgebra y anillo?

Question

En matemática superior, los operadores están definidas sobre un conjunto de objetos; y estos operadores son generalmente denotado como la adición y la multiplicación con una regla de distribución. Suponiendo que la multiplicación no es la suma repetida-a pesar de que puede ser pensado de esa manera en algunos contextos -- ¿cuáles son las necesidades que nos empujan a definir dos operadores (es decir, si no hubiéramos aprendido la costumbre de multiplicación ya)?

¿Por qué no diez operaciones? Hace algo más complicado siempre reducir a sólo dos operadores?

En algunas áreas, la multiplicación es a veces una cruz de producto o incluso un soporte/conmutador. ¿Hay alguna idea que subyace aquí que la "multiplicación" representa? Si es así, ¿cuál es el principio que nos lleva a generalizar?

Answer 1

Me preguntaba acerca de esto cuando se introdujo por primera vez a los anillos. Evidentemente este tipo de estructuras no existen. Algunos ejemplos incluyen bilattices y operads (que he descaradamente levantado desde aquí).

Otra generalización en una dirección diferente es $n$-ary grupos. Una $n$-ary grupo tiene sólo una operación, sino que es definido como una función de $G^n\rightarrow G$. Así, los grupos en el sentido usual sería llamado $2$-ary grupos.

Con respecto a la multiplicación: en el anillo y la teoría de campo, se le suele llamar la segunda operación de "multiplicación", simplemente porque el más común de los anillos se $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},$ y similares, en los que la operación de multiplicación es en realidad la multiplicación en el sentido clásico. Sin embargo, muchos anillos de involucrar a las operaciones que no tienen nada que ver con el estándar de la idea de la multiplicación.

La más inmediata ejemplos que vienen a la mente son los anillos de funciones, en la que además se definirse pointwise - que es, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ - y la multiplicación se define por la composición , es decir, $(fg)(x)=f(g(x))$. Es simplemente una cuestión de notación que escribimos $fg$ en lugar de $f\circ g$ en este contexto, tal vez para fomentar una metáfora con el resumen de los anillos, por lo que recordamos que el estándar de las mesas de resultados de la teoría todavía se aplican a los anillos de funciones.

Para incluso más raro ejemplo de la multiplicación, si eres inteligente en grupos, te gustaría leer sobre el grupo de los anillos, que consisten en "polinomios" en los elementos de un grupo de $G$ con coeficientes en un anillo de $R$. La multiplicación en el anillo de grupo se define por la combinación de la multiplicativo grupo de operación de $R$, el grupo de operación de $G$, y el "polinomio" estructura de sus elementos en una gran operación.

Answer 2

La utilidad generalizada: una interesante y útil de las estructuras de las operaciones de la satisfacción de que el grupo o el anillo de los axiomas, y hay un montón de técnicas útiles para el estudio de ellos, especialmente para las clases especiales de ellos.

A veces, incluso es muy útil para inventar un grupo o un anillo para describir una situación donde no hay este tipo de estructura ya existe, simplemente porque sabemos cómo estudiar.

En otras palabras, el estudio de anillo teoría no, porque hay una cierta profundidad idea de que todas las estructuras algebraicas son los grupos y anillos, sino porque no es mucho lo que podemos decir acerca de ellos, y podemos usar ese conocimiento mucho.

Answer 3

La multiplicación (o, más bien, el uso de la notación multiplicativa) es el "default" operación binaria se utiliza cuando se habla de los grupos y de las operaciones definidas en los grupos. La operación no puede ser una simple multiplicación, de la que usamos en la aritmética (la operación puede ser una permutación, la composición de funciones, la multiplicación de la matriz, el producto directo, etc.).

Utilizando la notación multiplicativa permite dar una descripción concisa de lo que, por ejemplo, que es un grupo, independientemente de que el conjunto en cuestión, o de la operación sobre el conjunto, sin enredarse en los detalles de tratar de definir lo que la operación está siendo utilizado en qué contextos, y proporciona una notación consistente para generalizar acerca de los grupos.

Por ejemplo, la exponenciación de un elemento de grupo representa simplemente la aplicación repetida de un grupo de la operación binaria sobre un grupo determinado elemento en sí.

Típicamente, pero no siempre, el aditivo se utiliza la notación cuando la generalización acerca de un grupo abelian, o para representar una operación binaria que es conmutativa en estructuras más grandes.

Tal vez no soy la comprensión de su pregunta. Pero creo que el uso de la notación multiplicativa (no necesariamente la operación de multiplicación, como en la aritmética) es casi una cuestión de convención, la comodidad y la utilidad (para facilitar la abstracción de lo concreto a lo general).

Del mismo modo, cuando se habla de la multiplicación operador en otras estructuras algebraicas, "en general" (y aparte de la operación correspondiente en una estructura en particular), es en gran parte una convención notacional, sino que también proporciona un medio para abstraerse y caracterizar las propiedades esenciales compartidos por todas las estructuras de grupo, o por todos los anillos, o por todos los campos, etc..

Answer 4

Siempre que una operación binaria es asociativa, si es conmutativa o no, puede ser "representado" como un operador, con la operación binaria correspondiente a "la composición."

Por ejemplo, supongamos $(G,\times)$ ser asociativa. Para cada una de las $g\in G$, definir $\phi_{g}:G\to G$$\phi_g(h)=g\times h$. La asociatividad puede entonces escribirse como:$$\phi_g\circ \phi_h = \phi_{g\times h}$$.

De hecho, en general, $(X,\times)$ es asociativa si y sólo si el mapa $X\to X^X$ de los que tomaron $x\to \phi_x$ es un homomorphism de $(X,\times)$ $(X^X,\circ)$ como conjuntos con los operadores binarios.

Es debido a esta relación entre asociativa y operaciones la función de composición que nos escriben a menudo binario operaciones como la multiplicación - el hecho de que a menudo nos escriben $\phi_1\phi_2$$\phi_1\circ\phi_2$.

Esta "representación:" $$(X,\times)\to(X^X,\circ)$$ is not necessarily faithful. It is possible for $\phi_x=\phi_y$ with $x\neq y$. Pero la mayoría de los casos asociativo de los operadores que se ejecuta en en el mundo real son fieles en virtud de esta representación. En particular, cuando la operación binaria tiene un elemento de identidad, esta representación es fiel.

De hecho, a menudo nos restricciones. La multiplicación en un anillo, por ejemplo, tiene el distributiva de la ley, que en esencia significa que el $\phi_r$ son homomorphisms del grupo abelian $(R,+)$. Así que aquí, la representación es $(R,\times)\to (Hom_{\mathcal {Ab}}(R,R),\circ)$. O para grupos, $\phi_{g}$ siempre $1-1$ y en. Que "subconjunto" de la relación - lo de la colección de "mapas" de $X$ $X$lo que permitirá a la de la $\phi_x$ - a menudo es la característica definitoria de nuestra clase de álgebras.