Demuestre el siguiente límite utilizando la definición de N-delta

Question

$\lim\limits_{x \to 0^+} {\ln x} = -\infty$

Mi intento:

$\forall\ N<0,\ \exists \ \delta>0 \ st. \forall x,\ c < x < \delta + c \implies f(x) < N$

Dejemos que $N$ se le dará.
Considere $\ \ln x < N$
$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; e^{\ln x} < e^N$
$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x < e^N$

así que puse $\delta = e^N$ .

La solución correcta es $\delta = \frac{1}{e^m}$ y no estoy seguro de cómo han llegado a eso.

¿Alguien puede mostrarme cómo se llega a eso con una pequeña explicación?

Answer 1

Su trabajo es correcto. Pero por lo general, la declaración es:

$$\forall \ M > 0, \ \exists \ \delta > 0, \ 0 < x < \delta \implies f(x) < -M. $$

Eso es, $M$ se toma como positivo.

En este caso, la elección sería $e^{-M}$ que es $1/e^{M}$ .

Tenga en cuenta que esto es equivalente a lo que usted ha hecho:

Has llegado a $\delta = e^N$ , donde $N < 0$ . Ahora escribe eso como $\delta = 1/e^{-N}$ y aquí $-N > 0$ . Es lo mismo.