Así que mi pregunta fue la siguiente:
Si $X_1\sim\text{Unif(0,a)}$ y $X_2\sim\text{Unif(0,a)}$ independientemente, entonces encuentre la distribución de $Z=X_1X_2$ .
He probado lo siguiente:
Dejemos que $Z_1=\frac{X_1}{a}\sim\text{Unif(0,1)}$ y $Z_2=\frac{X_2}{a}\sim\text{Unif(0,1)}$ . Así, $Z_1$ y $Z_2$ son independientes.
Además, sabemos que, $-2\log_eZ_1\sim\chi_2^2$ y $-2\log_eZ_2\sim\chi_2^2$ .
Esto implica,
$-2\log_e{Z_1Z_2}\sim\chi_4^2\implies-2\log_e{\frac{X_1X_2}{a^2}}\sim\chi_4^2\implies-2\log_e{\frac{Z}{a^2}}\sim\chi_4^2$ .
Dejemos que $Z^*=-2\log_e{\frac{Z}{a^2}}\sim\chi_4^2$ .
Así, aplicando la Transformación Jacobiana, encontré el pdf de $Z$ como: $$f_Z(z)=\begin{cases}\frac{\left(-\log_e{z/a^2}\right)e^{-\log_e{z/a^2}}}{2z} & 0\leq z\leq a^2\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ Es lo que hice, ¿verdad?
En realidad, antes de proceder así, intenté usar el método directo usando la transformación jacobiana pero obtenía algo así:
$$\begin{align}f_Z(z)&=\int_0^a{f_{X_1}\left(\frac{z}{x_2}\right)f_{X_2}\left(x_2\right)\frac{1}{x_2}}.dx_2\\ &=\frac{1}{a^2}\int_0^a\frac{1}{x_2}.dx_2\end{align}$$ Pero esta integral no está definida.
¿Significa esto que la fórmula directa de la Transformación Jacobiana no es válida en este caso?
