Sobre la prueba de que $e^x$ es continua en $0$ utilizando un resultado límite.

Question

Se me asignó la tarea de demostrar que $e^x$ es continua en $x=0$ utilizando el hecho de que $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1} {x} = 1 $$

Creo que se supone que debo demostrar que por cada $\epsilon >0$ Puedo elegir un $\delta \in R$ s.t. $|x| < \delta \implies | \frac{e^x - 1} {x} - 1| < \epsilon $ que incluso $|e^x - 1|$ se puede hacer menos de $\epsilon$ .

Escribí que $$ \frac{|e^x - 1| - |x|} {|x|} \le|\frac{e^x - 1} {x} - 1| < \epsilon$$

Pero no puedo encontrar la desigualdad que me gustaría que fuera cierta, ¿Cómo podría hacerlo?

Answer 1

Dado $\epsilon>0$ se nos da que hay eixts $\delta>0$ tal que $0<|x|<\delta$ implica $\left|\frac{e^x-1}{x}-1\right|<\epsilon$ . Así que $|e^x-(1+x)|<|x|\epsilon$ para tal $x$ . Si imponemos además que $|x|<\frac12$ Esto nos da $|e^x-(1+x)|<\frac\epsilon2$ , de modo que si imponemos (adicionalmente de nuevo) la condición $|x|<\frac\epsilon2$ obtenemos $$|e^x-1|\le |e^x-1|+|x|<\frac\epsilon2+|x|<\epsilon $$ Como $e^0=1$ se deduce que $x\mapsto e^x$ es continua en $0$ .

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En realidad, si consideramos $f(x)=e^x$ , nótese que queremos demostrar que $f$ es continua en un punto en el que se nos da que $f'$ existe. Esto es siempre así.

Answer 2

Usted sabe que $e^0=1$ ?

Utilizando su notación, se deduce que $$ |e^x-1|<(1+ϵ)·|x| $$ que le da continuidad local de Lipschitz.