Supongamos una variedad algebraica $V$ se da como las soluciones de $q$ ecuaciones polinómicas de grado $\le k$ con coeficientes reales $$p_1(x_1,\dots,x_m)=0,\dots,p_q(x_1,\dots,x_m)=0$$ para $x\in\mathbb R^m$ . Es un teorema debido a Milnor que la suma de los números de Betti de $V$ está limitada por $k(2k-1)^{m-1}$ . En particular, esto también limita el número de componentes conectados de $V$ .
Pregunta: ¿Es este límite en el número de componentes conectados de $V$ ¿el mejor atado conocido? Sólo me interesa el caso $k=2$ . Sospecho que para las variedades que estoy estudiando el número de componentes conectados está acotado linealmente en $m$ .
Milnor, John W. , Sobre los números de Betti de las variedades reales , Proc. Am. Math. Soc. 15, 275-280 (1964). ZBL0123.38302 .