Número de componentes conectados de variedades algebraicas afines de grado 2

Question

Supongamos una variedad algebraica $V$ se da como las soluciones de $q$ ecuaciones polinómicas de grado $\le k$ con coeficientes reales $$p_1(x_1,\dots,x_m)=0,\dots,p_q(x_1,\dots,x_m)=0$$ para $x\in\mathbb R^m$ . Es un teorema debido a Milnor que la suma de los números de Betti de $V$ está limitada por $k(2k-1)^{m-1}$ . En particular, esto también limita el número de componentes conectados de $V$ .

Pregunta: ¿Es este límite en el número de componentes conectados de $V$ ¿el mejor atado conocido? Sólo me interesa el caso $k=2$ . Sospecho que para las variedades que estoy estudiando el número de componentes conectados está acotado linealmente en $m$ .

Milnor, John W. , Sobre los números de Betti de las variedades reales , Proc. Am. Math. Soc. 15, 275-280 (1964). ZBL0123.38302 .

Answer 1

No. Hay mejores límites para casos particulares (por ejemplo para $3$ como se indica en la referencia más abajo), y en general sigue siendo un problema abierto encontrar límites agudos sobre el número máximo de componentes de una variedad afín/proyectiva real de grado dado. El artículo aquí de Degtyarev, Itenberg y Kharlamov, responde a algunas de las preguntas anteriores.

Dejemos que $B^0_r(N)$ , $0\leq r\leq N − 1$ denota el número máximo de componentes conectados que una intersección completa regular de $r + 1$ cuadriculas reales en $\mathbb{P}^N_{\mathbb{R}}$ puede tener. Entonces, es sencillo demostrar que el número de componentes puede crecer exponencialmente en la dimensión para un número adecuado de cuádricas

$B^0_{N−1}(N) = 2^N$ para todos $N > 1$ (intersección de dimensión cero).

Sin embargo, si el número de ecuaciones es pequeño, por ejemplo tres, entonces hay un límite superior cuadrático en $N$ para $B^0_{k}(N)$ .

Teorema . Para todos los $N > 4$ , uno tiene $\frac{1}{4}(N − 1)(N + 5) − 2 < B^0_2(N)\leq \frac{3}{2}k(k − 1) + 2$ , donde $k = [\frac{N}{2}] + 1$ .