Distancia más cercana entre dos curvas cuadráticas

Question

Tengo problemas con el siguiente problema:

Encuentre la distancia más cercana entre $x^2+4y^2=4$ y $xy=4$ .

He intentado resolverlo usando las propiedades de la elipse y la hipérbola, pero los ejes relativamente inclinados lo hacen difícil, creo. También pensé en usar un círculo que tiene su centro en $xy=4$ y es tangente a $x^2+4y^2=4$ pero el método parece hacer que las ecuaciones sean demasiado complicadas.

Las curvas generadas en https://www.desmos.com/

Agradecería algunas pistas, y también tengo curiosidad por saber si el problema se puede generalizar para encontrar la distancia más cercana entre dos curvas cuadráticas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dado que ambas funciones son muy suaves, creo que esto podría funcionar.

En primer lugar, basta con tomar las derivadas de las dos funciones. A continuación, resuelva cuándo las rectas normales de las derivadas de las dos funciones son idénticas (tanto en pendiente como en intersección). La recta normal resultante debe ser también la línea más corta entre las dos curvas.

Justificación (por contradicción): tomemos un caso en el que la línea más corta cruza dos puntos para los que las normales no son "iguales". Esto significa que las normales se cruzan en alguna coordenada, y también forman un ángulo (y un triángulo con la línea "más corta").

Ahora, dado que nuestras funciones son muy suaves y agradables, a medida que nos movemos a lo largo de los puntos de nuestras funciones, las normales deben ser cada vez más similares (en pendiente) (es decir, su ángulo aumenta). Además, mientras nuestras tangentes se crucen, las funciones deben estar "acercándose".

Así que seguimos bajando por nuestras funciones hasta que las tangentes/derivadas dejan de intersecarse, es decir, donde son paralelas. Este es también el punto en el que las normales son la misma línea (con los mismos c y m). Como hemos ido acercando las "aristas", la línea resultante que contacta con las 2 funciones debe ser más corta que la "línea más corta" original. Así que, de hecho, la línea inicial no era la más corta; la "normal" sí lo es.

Importante: hay infinitas normales para la función 2 que tendrán la misma pendiente, pero sólo 1 con la misma c (intersección y).Esta 1 recta se puede encontrar comprobando las ecuaciones de las tangentes.

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Extra (mostrando las ecuaciones reales):

Si no me he equivocado en las matemáticas, al final habría que resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Nota: x e y son sólo símbolos arbitrarios (x representa la coordenada x del punto deseado en la elipse e y representa la coordenada x del punto deseado en la hipérbola).

Answer 2

Mi intento: he seleccionado dos puntos arbitrarios $(x_e,y_e)$ y $(x_h,y_h)$ y calculé la distancia que digo que es mínima.

$y_e$ puede ser eliminado (expresado en función de $x_e$ ya que el punto está a lo largo de la elipse).

$y_h$ puede ser eliminado (expresado en función de $x_h$ ya que el punto es a lo largo de la hipérbole).

Ahora, quiero que las derivadas de la distancia con respecto a ambos $x_e$ y $x_h$ sea igual a cero. Esto conduce a un terrible sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas $x_e$ y $x_h$ pero, afortunadamente, sólo tenemos que considerar el primer cuadrante debido a la simetría. Además, se pueden descartar las soluciones complejas.

No puedo obtener una solución analítica pero utilizando métodos numéricos, la única solución corresponde a $(1.62723,0.581406)$ a lo largo de la elipse y $(2.39098,1.67296)$ a lo largo de la hipérbole.

Utilizando los multiplicadores de Lagrange (entonces $6$ variables) me llevó al mismo resultado.

Los resultados se confirmaron posteriormente construyendo un gráfico de contorno de la distancia en función de los parámetros $x_e$ y $x_h$ .

Añadido más tarde a esta respuesta

El problema puede reducirse a una sola variable (por ejemplo $x_e$ ), eliminando $x_h$ en función de $x_e$ de una de las derivadas de la distancia con respecto a las variables. Lo que queda entonces es resolver la derivada restante para $x_e$ (la ventaja de mantener $x_e$ como la única variable del problema es que está acotada entre $0$ y $2$ ).

Así, el problema se reduce ahora a la solución de una única ecuación para una única incógnita. Esto funciona y conduce a resultados idénticos. Los métodos de Newton funcionan bastante bien, excepto si las iteraciones comienzan en $x_e=0$ o $x_e=2$ que corresponden a ramas infinitas. Pero, por ejemplo, empezar las iteraciones en $x_e=1$ los iterados sucesivos son $1.32085$ , $1.57018$ , $1.62728$ , $1.62723$ .

Este enfoque podría utilizarse para encontrar la distancia más cercana entre dos cónicas.