A integral in Evans PDE chapter 2 problem 2 (straight calculus problem)

Question

Aquí estoy intentando el problema 3 del capítulo 2 del libro PDE de Evans. Afortunadamente he encontrado la solución en Internet

introduzca aquí la descripción del enlace

Sin embargo, hay una línea que me confunde y que estuve protagonizando durante 3 largas horas. (Ver página 3)

Creo que esto debe tener que ver con la fórmula de coordenadas polares del apéndice, es decir

Me cuesta mucho ver esto, no puedo ver por qué todo, incluyendo $\frac{1}{t^{n-2}}$ es en términos de $x$ . ¿Podría alguien ayudar a explicar la igualdad de las dos integrales?

Answer 1

Creo que hay un error, ya que el LHS depende de $\epsilon$ y el RHS no. En esa misma página, llama

$$ I=\int_\epsilon^r\int_{\partial B(0,t)}\frac{1}{t^{n-2}}f\,dSdt\,\,\,\,\,\text{ and }\,\,\,\,\,J=\frac{1}{\epsilon^{n-2}}\int_{B(0,\epsilon)}f\,dy. $$

Entonces

$$ I=\int_\epsilon^r\int_{\partial B(0,t)}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dS(y)dt=\int_{\epsilon\leq|y|\leq r}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dy=\int_{B(0,r)}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dy-\int_{B(0,\epsilon)}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dy $$

desde $t=|y|$ cuando $y\in\partial B(0,t)$ y $\bigcup_{t\in[\epsilon,r]}\partial B(0,t)=B(0,r)\backslash B(0,\epsilon)$ . Para $n\geq 2$ tenemos

$$ \left|\int_{B(0,\epsilon)}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dy\right|\leq\max\,|f|\int_{0}^\epsilon\frac{1}{t^{n-2}}\int_{\partial B(0,t)}\,dS(y)dt=\max\,|f|\int_0^\epsilon n\alpha_nt\,dt\to 0 $$

como $\epsilon\to 0$ . Anteriormente afirma $J\to 0$ como $\epsilon\to 0$ . Por lo tanto,

$$ I+J\to \int_{B(0,r)}\frac{1}{|y|^{n-2}}f\,dy\,\,\text{ as }\,\,\epsilon\to 0 $$

y no como él afirma.