¿Cómo se encuentran las distintas propiedades de los números y las operaciones?

Question

Ya sé cómo se define el término "propiedad".

Definición:

Atributo, cualidad o característica de algo.

Como una de las propiedades de la adición es la "conmutatividad" que se comporta como,

$a+b=b+a$

Y de forma similar la asociatividad,

$a+(b+c)$ = $a+(b+c)$

Pero siempre sigo aprehendiendo que ¿Cómo se han encontrado y qué propiedades son similares a ellas? , ¿Cómo se demostró que eran ciertas para todos los números? , ¿Necesita algún tipo de prueba de inducción?

Cuando le pregunté a mi primo sobre eso, me dijo: "No tienen necesidad de ser probados ya que son propiedades como las que tú posees y por eso puedes darles sentido". Pero yo le contesté: "En cuanto a las propiedades de la suma, la multiplicación, puedo darles sentido, pero ¿qué pasa con este tipo de propiedades?

Propiedad exponencial: $a^n=\frac{1}{a^{-n}}$ .

Así que me sugirió que preguntara por él en SE y así lo estoy haciendo.

Answer 1

La mayoría de los libros de cálculo comienzan introduciendo de una forma u otra los números reales. Y la mayoría de estos libros los introducen con un conjunto de axiomas, que son las propiedades de las que hablas.

No sólo hay propiedades relacionadas con el funcionamiento. También hay propiedades de orden y una propiedad topológica.

Pero algunos libros comienzan con los axiomas de Peano, que dan algunas propiedades muy básicas de los números naturales. Con estos axiomas de Peano a mano, se puede definir la suma y el producto de números naturales y probar sus propiedades. Es decir, lo que eran axiomas en el enfoque anterior, ahora son teoremas. Luego se pueden construir los números enteros, los racionales y, finalmente, los reales. Pero toda esta construcción es bastante larga, y se suele omitir, favoreciendo el enfoque axiomático.

Pero las cosas se pueden hacer aún más desde cero. Se puede empezar con un conjunto de axiomas algo estandarizado llamado Zermelo-Fränkel (ZF) y construir el conjunto de números naturales y demostrar los "axiomas" de Peano (que ahora son teoremas). Este es también un trabajo largo. Sólo un consejo: el número cero se define como el conjunto vacío, y el sucesor de un número natural dado $n$ es $n\cup\{n\}$ . Así que, sí, los números naturales son conjuntos.

Lo siento, pero no tengo a mano buena bibliografía sobre estas construcciones. Seguro que alguien puede ayudar con esto.

Answer 2

Su definición de propiedad es más inglesa que matemática. En matemáticas, una propiedad es una fórmula en lógica con una variable libre. Cualquier objeto que pueda sustituir a la variable libre y hacer que la fórmula sea "verdadera" se dice que tiene esa propiedad.

Por ejemplo, la propiedad $E(x)$ que significa $x$ es incluso podría ser representado por la fórmula $\exists n \in \mathbb{N}(2*n = x)$ . Esta fórmula dice básicamente que existe un número natural tal que dos veces ese número es igual a $x$ . Cualquier número par introducido en esta fórmula para $x$ lo hará cierto, mientras que cualquier otro número no lo hará.

Ahora bien, dependiendo del contexto, estas propiedades se definen simplemente, o requieren una prueba.

Por ejemplo, después de construir los números naturales y los números reales desde la teoría de conjuntos como sugiere ajotatxe, para demostrar que la construcción es válida, tenemos que demostrar que nuestra construcción satisface todas las propiedades necesarias.

O, simplemente, podríamos afirmar que $R$ es un campo real cerrado. Entonces estamos trabajando bajo la suposición de que cada elemento de $R$ tiene las propiedades que usted describe, y no es necesaria ninguna prueba.

Answer 3

Una propiedad (también llamada "predicado" o "función proposicional") es simplemente algo que puede ser verdadero o falso de algunos objetos. En lógica, la notación $P(x)$ representa la afirmación de que "el objeto x tiene propiedad P ." Incluso podemos tener predicados que toman múltiples argumentos, como P(x,y) Normalmente, un predicado con más de un argumento se denomina relación .

Algunos ejemplos de predicados son:

• " $x$ es un número par";
• " $x=0$ ";
• " $4x-y=73$ ";
• "el polinomio P tiene al menos 2 ceros reales";
• " $x+y=y+x$ ".

Por supuesto, una declaración como P(x) no tiene ningún significado hasta que decidamos un valor para $x$ . Hay muchas formas de hacerlo: si ya tenemos un objeto a podemos establecer $x=a$ y preguntar si $P(a)$ es cierto.

Incluso si no tenemos ningún objeto específico, podemos hacer preguntas significativas. En este caso podemos cuantificar sobre el rango de valores posibles que puede tomar nuestra variable, sean los que sean. Así que podemos preguntar si $P(x)$ se mantiene para tous $x$ ("cuantificación universal"), o podríamos preguntar si es cierto para algunos $x$ ("cuantificación existencial").

Si sabemos cuándo un predicado P es cierto, podemos utilizar este hecho para deducir otras cosas. Por ejemplo, si tenemos un objeto a tal que P(a) es válida, entonces es obvio que existe al menos un objeto de este tipo, a saber a . Si tenemos un objeto b tal que P(b) es falso, entonces sabemos que no todos tienen la propiedad P .

Lógica de predicados es el sistema lógico que formaliza este razonamiento sobre las propiedades de los objetos. Los enunciados de la lógica de predicados tienen el siguiente aspecto $\forall x \forall y(Sxy \leftrightarrow \forall z(Ezx \to Ezy))$ . Esto se lee como, "para todos x y y , S(x,y) es verdadera si y sólo si, para todo z , E(z,x) implica E(z,y) .

Otro ejemplo: $\forall x(Px \to \exists y Sxy)$ significa "para todos x , si P(x) , entonces hay un y tal que S(x,y) .

Armados con las reglas de la lógica de predicados, y algunas suposiciones iniciales (axiomas) que decidimos de antemano, podemos proceder a demostrar afirmaciones sobre los objetos que estamos estudiando.