¿Cómo puedo representar la distribución muestral de una variable aleatoria que tiene probabilidad $\rho$ de estar presente?

Question

Digamos que tenemos una variable aleatoria continua $S\in [0,1]$ que tiene una distribución de probabilidad desconocida $p_s$ . Ahora supongamos que queremos encontrar el valor esperado (y la distribución) de $N$ ensayos en los que en cada ensayo se extrae de $S$ con probabilidad $\rho$ y obtenemos $0$ con probabilidad $1-\rho$ (queremos el valor esperado sólo en términos de $E[S]$ ).

En otras palabras, en cada ensayo tenemos la probabilidad $\rho$ de obtener algo, y ese algo es una variable aleatoria $S$ distribuidos en función de $p_s$ . El resto del tiempo no recibimos nada en absoluto.

Podemos modelar el número de ensayos que devuelven algo como una distribución binomial estándar. Es decir, de $N$ prueba el número de veces que sacamos de $S$ está modelado por $B(N, \rho)$ donde $B$ es la distribución binomial estándar.

Si $S$ fueran siempre 1, habríamos terminado. La distribución muestral sería simplemente $B(N, \rho)$ y el valor esperado sería $N\rho$ (corrígeme si me equivoco). Pero ¿qué pasa con este caso en el que $S$ tiene alguna distribución desconocida? ¿Cómo modelamos esta distribución de muestreo?

Answer 1

Dejemos que $Y$ sea el resultado de un ensayo. La distribución de $Y$ es $(1-\rho) \cdot \delta_0 + \rho \cdot p_s$ , donde $\delta_0$ es una masa puntual en $0$ . Entonces, después de $N$ (independientes, supongo) los juicios el resultado total es $T_N := Y_1 + \dots + Y_N$ , donde $Y_1, \dots, Y_N$ son copias iid de $Y$ .

No sé exactamente a qué te refieres con "modelar esta distribución", pero en particular la expectativa es fácil de calcular: $\mathbb{E}(Y) = \rho \mathbb{E}(S)$ Así que $\mathbb{E}(T_N) = N \rho \mathbb{E}(S)$ .

También es posible calcular la varianza utilizando la ley de la varianza total. Sea $I$ sea la variable aleatoria que indica si $0$ se elige o se hace un muestreo de $p_s$ es elegido. Entonces \begin{align*} \operatorname{var}(Y) &= \mathbb{E}(\operatorname{var}(Y|I)) + \operatorname{var}(\mathbb{E}(Y|I)) = \mathbb{E}((1-\rho) \delta_0 + \rho \delta_{\operatorname{var}(S)}) + \operatorname{var}((1-\rho) \delta_0 + \rho \delta_{\mathbb{E}(S)}) \\ &= \rho \operatorname{var}(S) + \rho \mathbb{E}(S)^2 - \rho^2 \mathbb{E}(S)^2, \end{align*} y $\operatorname{var}(T_N) = N\cdot \operatorname{var}(Y)$ .

EDITAR: He aquí una forma alternativa de calcular las mismas cantidades. Como ya han señalado, también podemos expresar $T_N$ como $\sum_{i=1}^{M} S_i$ donde $M \sim \operatorname{Bin}(N,\rho)$ y el $S_i$ son copias iid de $S$ . Entonces $\mathbb{E}(T_N)$ y $\operatorname{var}(T_N)$ puede calcularse utilizando los resultados estándar para las sumas de un número aleatorio de variables aleatorias iid (véase, por ejemplo estas notas de clase )