¿La matriz aumentada tiene soluciones para 2 de 3 variables? ¿Es la tercera una variable libre?

Question

Me han pedido que encuentre la solución general de esta matriz:

$\left[\begin{array}{cccc} 1 & -3 & 0 & -5 \\ -3 & 7 & 0 & 9 \\ \end{array}\right]$

Cuando intentas encontrar la solución general, primero pones la matriz en su forma escalonada reducida, ¿correcto?

Así obtuve:

$\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ \end{array}\right]$

Así que he resuelto para $x_{1}, x_{2}$ pero no sé cómo describir $x_{3}$ . ¿Es una variable libre? Ya que para cualquier $x_{3} \in \mathbb{R}$ el sistema tiene una solución, ¿correcto? No estoy seguro, porque es un problema par en mi libro de texto.

Answer 1

Si quiere probarlo, simplemente calcule $$\begin{bmatrix}1 & -3 & 0\\-3 & 7 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\3\\x_3\end{bmatrix}.$$