Gabor Toth Miradas de Álgebra y Geometría contiene la siguiente hermosa prueba (quizás debería decir "interpretación") de la fórmula $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \mp ...$ que creo que nunca he visto antes. Dado un entero no negativo $r$ , dejemos que $N(r)$ sea el número de pares ordenados $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$ tal que $a^2 + b^2 \le r^2$ es decir, el número de puntos de la red en la bola de radio $r$ . Entonces, si $r_2(n)$ es el número de pares ordenados $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$ tal que $a^2 + b^2 = n$ se deduce que $N(r^2) = 1 + r_2(1) + ... + r_2(r^2)$ .
Por otro lado, una vez que se han caracterizado los primos que son sumas de cuadrados, no es difícil demostrar que $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$ donde $d_i(n)$ es el número de divisores de $n$ congruente con $i \bmod 4$ . Así que queremos contar el número de divisores de números menores o iguales a $r^2$ congruente con $i \bmod 4$ para $i = 1, 3$ y tomar la diferencia. Esto da
$\displaystyle \frac{N(r^2) - 1}{4} = \left\lfloor r^2 \right\rfloor - \left\lfloor \frac{r^2}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{r^2}{5} \right\rfloor \mp ...$
y ahora se obtiene el resultado deseado dividiendo por $r^2$ y tomar el límite.
Pregunta: ¿Existe una prueba similar de la fórmula $\displaystyle \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...$ ?
Por "similar" quiero decir que primero se establece un resultado finito con un claro significado teórico-numérico o combinatorio y luego se toma un límite.
