Expansión binomial para $(x+a)^n$ para n no entero

Question

Finalmente me di cuenta de que se podía diferenciar $x^n$ y obtener $nx^{n-1}$ usando el cociente de la derivada, pero eso requería hacer la expansión binomial para valores no enteros.

Lo máximo que puedo encontrar con la expansión binomial es el primer, segundo, último y penúltimo término.

Entonces, ¿cómo puedo encontrar algo como $(x+a)^{\pi}$ ? Al diferenciar en el cálculo, no necesitaba encontrar términos después del segundo porque sabía que todos se cancelarían, pero ¿cómo se encuentran estos términos?

¿Funcionan también para los exponentes negativos?

¿Y esto funciona para los exponentes complejos?

¿Qué fue primero, el método de Euler para exponentes complejos o la expansión binomial para exponentes complejos?

Answer 1

El teorema del Binomio para cualquier índice $n\in\mathbb{R}$ con $|x|<1,$ es

$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\ldots$

Para $(x+a)^\pi$ uno podría tomar $x$ o $a$ común de acuerdo como si $|a|<|x|$ o $|a|<|x|$ y utilizar el teorema de Binomio para cualquier índice, es decir, $x^\pi(1+a/x)^\pi$ por si acaso $|a|<|x|.$

Answer 2

Puedes escribir $π=22/7$ por lo que nuestra expresión se convierte en $^7\sqrt{({x+a})^{22}}$ por lo que si tenemos algún número elevado a $22$ está cerca de un $7th power$ del número $7$ entonces podemos escribirlo como $^7\sqrt{7^7-y}$ donde $y$ es cualquier constante que al restarla da $(x+a)^{22}$ y luego realizar los binomios para el exponente $1/7$ . ¡Lo expreso para los números cuya,22ª, 7ª potencia es contable por la calculadora! Entonces puedes hacer series infinitas si $|x|<1$ que es $1+nx+\frac{(n)(n-1)}{2!}x^2+...\infty$ Espero haber aclarado lo que querías.